Grupos $G,H$ con homomorfismos subjetivos que son cocientes entre sí

Question

Dejemos que $G$ y $H$ sean grupos y supongamos que existen homomorfismos onto $$\phi :G\rightarrow H,\qquad\psi :H\rightarrow G.$$ Si $H$ y $G$ son finitos, entonces está claro que $H$ y $G$ son isomorfos. También es válido para grupos abelianos finitamente generados. Sin embargo, en general esto no es cierto ni siquiera en el caso abeliano.

Mi pregunta es: si sabemos que $G,H$ son generados finitamente y tales $\phi ,\psi$ existen entonces son $G$ y $H$ ¿Isomorfo?

Answer 1

Hay un ejemplo de dos grupos no isomorfos con esta propiedad en el Teorema 3 del artículo de Baumslag y Solitar sobre grupos no hopfianos, al que puede acceder aquí .

Los dos grupos son $\langle a,b \mid a^{-1}b^2a=b^3 \rangle$ y $\langle c,d \mid c^{-1}d^2c=d^3, ([c,d]^2c^{-1})^2=1 \rangle$ .

Answer 2

Como ya se ha respondido, cualquier ejemplo tiene que ser un grupo no hopfiano, y hay ejemplos fáciles que son abelianos (y generados infinitamente) y algunos ejemplos más sutiles (pero ampliamente estudiados) generados finitamente, como en la respuesta de Derek.

Sin embargo, la propiedad dada ( $\ast$ ) es más débil que hopfian, donde Property ( $\ast$ ) para un grupo $G$ se define como: siempre que $H$ es un cociente de $G$ admitiendo $G$ como cociente, entonces $H$ es isomorfo a $G$ .

Por supuesto, Hopfian implica ( $\ast$ ), pero lo contrario falla: por ejemplo, si $C(p^\infty)$ es el grupo Pr\"ufer y $G=C(p^\infty)^{\mathbf{N}}$ es la suma directa de un número contable de copias de $C(p^\infty)$ entonces el grupo abeliano $G$ es claramente no hopfiano pero satisface ( $\ast$ ).

Para un ejemplo de generación finita, considere el grupo $A_n$ de $n\times n$ matrices triangulares superiores sobre $\mathbf{Z}[1/p]$ ( $p$ primo) con $a_{11}=a_{nn}=1$ y $B_n$ el cociente de $A_n$ por el subgrupo cíclico (central) generado por la matriz elemental $e_{1n}(1)$ . Entonces $B_n$ está generada finitamente para $n\ge 3$ (fue introducido por Hall para $n=3$ y Abels para $n\ge 4$ en cuyo caso se presenta de forma finita) es no hopfiano. Pero satisface ( $\ast$ ) mediante un simple argumento.

Sin embargo, esto parece bastante excepcional y la "mayoría" de los grupos no hopfianos no deberían satisfacer ( $\ast$ ).

Answer 3

En el papel:

A. V. Borshchev y D. I. Moldavanskii, Sobre el isomorfismo de algunos grupos con una relación definitoria Mat. Zametki 79 (2006), nº 1, 34-44. MR 2252133,

los autores construyen grupos no isomórficos de dos generadores y un relator $G=\langle X; R\rangle$ y $H=\langle Y; S\rangle$ tal que $G\twoheadrightarrow H$ y $H\twoheadrightarrow G$ . Estos ejemplos son sorprendentes ya que, desde el punto de vista de las presentaciones, son los más sencillos posibles.