Dejemos que $\Omega\subseteq\mathbb{R}^N$ sea un conjunto abierto y $f:\Omega\to[0,+\infty[$ una función medible, acotada sobre cada compacto $K\subset\Omega$ . Si hay un $C>0$ tal que $$\int_{K}f\operatorname{dm}\leq C$$ y una secuencia $\{ K_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ de conjuntos compactos tales que $K_j\subset\operatorname{int}(K_{j+1})$ y $\bigcup_{j\in\mathbb{N}}K_j=\Omega$ Cómo demostrar que $$\lim_{j\to\infty}\int_{K_j}f\operatorname{dm} =\sup\left\{\int_{K}f\operatorname{dm} : K\subset\Omega, K\text{ is compact}\right\}?$$
Respuesta
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Ya que para cada $j$ tenemos $$\int_{K_j}f\mathrm dm\leqslant\sup_{\substack{K\subset \Omega,\\ K\mbox{ compact}}}\int_Kf\mathrm dm=:M,$$ obtenemos $\leqslant $ tomando el límite $j\to \infty$ .
Para la desigualdad inversa, tome $\varepsilon\gt 0$ y $K\subset \Omega$ un conjunto compacto tal que $M-\varepsilon\lt\int_Kf\mathrm dm$ . Desde $K\subset \bigcup_{j\geqslant 1}\operatorname{int}(K_j)$ tenemos para algunos $J$ que $K\subset\bigcup_{j=1}^J\operatorname{int}(K_j)\subset \bigcup_{j=1}^JK_j=K_J$ Por lo tanto $$M-\varepsilon\lt\int_Kf\mathrm dm\leqslant \int_{K_J}f\mathrm dm\leqslant\lim_{j\to \infty}\int_{K_j}f\mathrm dm.$$ Como $\varepsilon$ era arbitraria, concluimos $M\leqslant \lim_{j\to \infty}\int_{K_j}f\mathrm dm$ .
