Encontrar todas las funciones $f$ tal que para cualquier racional $x$ y $y$ , $f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$ .

Question

Encontrar todas las funciones $f$ tal que para todos los números racionales $x$ , $y$ , $$f(xy)+f(x+y)=f(x)f(y)+1\,.$$

Ya hice la misma pregunta donde $x$ y $y$ eran enteros, pero esta vez quiero resolver esta ecuación funcional sobre los racionales. Las soluciones cuando $x$ y $y$ son enteros son $f(x)=1$ , $f(x)=x+1$ y $f(x)=\frac{1+(-1)^x}{2}$ . Hasta ahora, he podido demostrar que $f(x)=1$ y $f(x)=x+1$ también son soluciones sobre los racionales, pero me cuesta hacer lo mismo para $f(x)=\frac{1+(-1)^x}{2}$ y en realidad no sé si esto es una solución sobre los racionales

Answer 1

Dejemos que $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ sea una función que satisfaga $$f(xy)+f(x+y)=f(x)\,f(y)+1\tag{*}$$ para todos $x,y\in\mathbb{Z}_{>0}$ . Desde el antiguo enlace sabemos (mediante el estudio de $f|_{\mathbb{Z}_{>0}}$ ) que hay tres valores posibles de $f(1)$ : $0$ , $1$ o $2$ .

Si $f(1)=1$ , entonces al establecer $y:=1$ en la ecuación funcional (*), obtenemos $f(x+1)=1$ para todos $x\in\mathbb{Q}$ . Es decir, $$f(x)=1\text{ for all }x\in\mathbb{Q}\tag{#}$$ es la única solución en este caso.

Ahora suponemos que $f(1)=2$ . Una vez más, el establecimiento de $y:=1$ en la ecuación funcional (*), obtenemos $$f(x+1)=f(x)+1$$ para todos $x\in\mathbb{Q}$ . Esto demuestra que la función $g:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ definido por $$g(x):=f(x)-x-1\text{ for each }x\in\mathbb{Q}$$ es periódica con periodo $1$ . De (*), tenemos $$g(xy)+g(x+y)=g(x)\,g(y)+(x+1)\,g(y)+(y+1)\,g(x)$$ para todos $x,y\in\mathbb{Q}$ . Sea $p$ y $q$ sean enteros coprimos con $q>0$ . Configurar $x:=\dfrac{p}{q}$ y $y:=q$ en la ecuación anterior (sabiendo que $g(1)=0$ y la periodicidad de $g$ ), obtenemos $$\begin{align}g\left(\frac{p}{q}\right)&=g\left(\frac{p}{q}\cdot q\right)+g\left(\frac{p}{q}+q\right) \\&=g\left(\frac{p}{q}\right)\,g(q)+\left(\frac{p}{q}+1\right)\,g(q)+(q+1)\,g\left(\frac{p}{q}\right)\\&=(q+1)\,g\left(\frac{p}{q}\right)\,.\end{align}$$ Esto demuestra que $g\left(\dfrac{p}{q}\right)=0$ . Es decir, $g(x)=0$ para todos $x\in\mathbb{Q}$ . Ergo, $$f(x)=x+1\text{ for every }x\in\mathbb{Q}\tag{@}$$ es la única solución en este caso.

Nos queda el caso restante $f(1)=0$ . Enchufando $y:=1$ en (*) da como resultado $$f(x+1)=1-f(x)$$ para todos $x\in\mathbb{Q}$ . En particular, esto significa $$f(x+2)=1-f(x+1)=1-\big(1-f(x)\big)=f(x)$$ para todos $x\in\mathbb{Q}$ . Por lo tanto, $f$ es periódica con periodo $2$ . Tenga en cuenta que $f(0)=1-f(1)=1$ . Así, $$f(n)=\frac{1+(-1)^n}{2}$$ para todos $n\in\mathbb{Z}$ . Configurar $x:=\dfrac{1}{2}$ y $y:=2$ en (*), tenemos $$\begin{align}f\left(\frac{1}{2}\right)&=0+f\left(\frac12\right)=f(1)+f\left(\frac{1}{2}\right)\\&=f\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)+f\left(\frac{1}{2}+2\right)\\&=f\left(\frac{1}{2}\right)\,f(2)+1\\&=f\left(\frac{1}{2}\right)\,\left(\frac{1+(-1)^2}{2}\right)+1=f\left(\frac12\right)+1\,,\end{align}$$ lo cual es absurdo. Por lo tanto, no hay soluciones en este caso. Así, a diferencia de el antiguo enlace sólo hay dos soluciones (#) y (@).