Tengo que calcular esta integral: %#% $ de #% trataba de integración por partes, y también introduciendo un parámetro $$\int_0^1\arctan^2(x)\,\sqrt{x}\,dx$ y diferenciación wrt, pero estos planteamientos no condujo a nada útil. Por favor ayuda.
Respuestas
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Shiv
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El integrando tiene una forma cerrada antiderivada en términos de funciones elementales y dilogarithms. Mathematica puede encontrar si nos ayuda en primer lugar, convirtiendo el arco tangente a una combinación de los logaritmos: $$\arctan(x)=\frac i2\ln(1-i x)-\frac i2\ln(1+ix)$$ Después de algunas simplificaciones que toma esta forma. Su corrección se puede comprobar de forma manual mediante la diferenciación directa. Conectar la integración de los límites y la realización de algunas simplificaciones, obtenemos el mismo resultado dado por Cleo.
Kim Peek II
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758
El intervalo de integración es pequeño: $[0, 1]$ así que uno de lo método podría ser usar serie de Taylor para la función de $\arctan(x)$:
$$\arctan^2(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty}\sum_{m = 0}^{+\infty}\frac{(-1)^n (-1)^m}{(2n+1)(2m+1)}x^{2n+1}x^{2m+1}$$
Escriba $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ para obtener:
$$I = \int_0^1\sum_{n = 0}^{+\infty} \sum_{m = 0}^{+\infty}\frac{(-1)^n (-1)^m}{(2n+1)(2m+1)}x^{2n+1}x^{2m+1} x^{\frac{1}{2}}$$
es decir
$$I = \sum_{n = 0}^{+\infty} \sum_{m = 0}^{+\infty}\frac{(-1)^n (-1)^m}{(2n+1)(2m+1)}\int_0^1x^{2n+1}x^{2m+1} x^{\frac{1}{2}}$$
Le llevará a (después de una integración trivial)
$$I = \sum_{n = 0}^{+\infty} \sum_{m = 0}^{+\infty}\frac{(-1)^n (-1)^m}{(2n+1)(2m+1)}\frac{1}{\left(2(n+m) + \frac{7}{2}\right)}$$
