¿Cuál es la transformación Z de la secuencia $-b^nu(1-n)$ y ¿cuál es su ROC?

Question

¿Cuál es la transformación Z de la secuencia $-b^nu(n-1)$ y ¿cuál es su ROC? Nota: $u(n)$ es la secuencia de pasos unitarios.

Mi razonamiento y posible solución es la siguiente:

$$X(Z)= \sum_{k = - \infty}^{-1}(-b)^kz^{-k}=\sum_{k = 1}^{\infty}(-b)^{-k}z^k = \sum_{k = 1}^{\infty}\left ( \frac{-z}{b} \right )^k = -1 + \sum_{k = 0}^{\infty}\left ( \frac{-z}{b} \right )^k =-1 + \frac{1}{1+\frac{z}{b}} = -1 + \frac{b}{z + b} = \frac{-z}{z+b}$$

Suponiendo que $\left | z \right | < \left | b \right |$ que sería el ROC.

Answer 1

$$x(n) = -(b^n) u(1-n)$$

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}$$

$$X(z) = -\sum_{n=-\infty}^{1}\frac{b^n}{z^n} $$

$$X(z) = - ( \frac{b}{z}+1+\frac{z}{b}+\frac{z^2}{b^2}+......)$$

Ahora aplique la fórmula para la suma de infinte GP

$$X(z) = -\frac{b}{b-z}$$

$$X(z) = \frac{b}{z-b}$$

$$|\frac{z}{b}|<1$$

$$ROC :|z|<|b|$$