Diez números no negativos son tales que $ \sum_{i=1}^{10} x_i =5 $ , y $ \sum_{i=1}^{10} x_i^2 =6.1 $ . ¿Cuál es el mayor valor del mayor de estos números?
A mí me genera mucha confusión, pero creo que el número más grande puede ser un entero. Por favor, ayúdame con el procedimiento.
Fuente : Evaluación de la admisión en el Instituto de Física y Tecnología de Moscú para la informática
Supongamos que $$ \frac{\sum_{i = 1}^n x_i}{n} = a $$ y $$ \frac{\sum_{i = 1}^n x_i^2}{n} = b^2 $$ Set $y_i = x_i - a$ . Entonces (como puede comprobar) $$ \frac{\sum_{i = 1}^n y_i}{n} = 0 $$ Así que $$ b^2 = \frac{\sum_{i = 1}^n (y_i + a)^2}{n} = \frac{\sum_{i = 1}^n y_i^2 + 2ay_i + a^2}{n} = \frac{\sum_{i = 1}^n y_i^2}{n} + 2a \frac{\sum_{i = 1}^n y_i}{n} + \frac{a^2}{n} \sum_{i = 1}^n 1 $$ Configurar $$ c^2 = \frac{\sum_{i = 1}^n y_i^2}{n} $$ Obtenemos $$ b^2 = c^2 + 2a(0) + a^2 $$ Así que $$ c^2 = b^2 - a^2 $$ Obsérvese que dicha secuencia $y_i$ alcanza su mayor elemento posible precisamente cuando $x_i$ alcanza su mayor elemento posible.
El resultado de todo esto es que hemos reducido el problema a encontrar el mayor valor posible de una secuencia de números $y_i$ con una media de $0$ (es decir $\frac{\sum_{i =1}^n y_i}{n} = 0$ ) y la varianza de $c^2$ (es decir $\frac{\sum_{i = 1}^n y_i^2}{n} = c^2$ ).
Intuitivamente, está claro que el máximo debe ocurrir cuando $y_1 = \ldots = y_{n -1} = y$ . Aplicando la condición de media y varianza y realizando un cálculo sencillo se obtiene $y_n = \sqrt{n - 1} c$ . Queda por comprobar que esto es lo mejor que podemos hacer.
Supongamos por contradicción $y_n > \sqrt{n - 1} c$ . Entonces $$ \sum_{i = 1}^{n - 1} y_i = -y_n $$ y $$ \sum_{i = 1}^{n - 1} y_i^2 = nc^2 - y_n^2 $$ Así, $$ \frac{\sum_{i =1}^{n - 1} y_i}{n -1} = -\frac{y_n}{n - 1} $$ y $$ \frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} y_i^2}{n - 1} = \frac{nc^2 - y_n^2}{n - 1} $$ Set $z_i = y_i + \frac{y_n}{n - 1}$ . Entonces $$ 0 \leq \frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} z_i^2}{n - 1} = \frac{nc^2 - y_n^2}{n - 1} - \left(\frac{y_n}{n - 1}\right)^2 < \frac{nc^2 - (n - 1)c^2}{n -1} - \frac{(n - 1)c^2}{(n - 1)^2} = 0 $$ lo cual es absurdo. Así, $y_n = \sqrt{n - 1} c$ es lo mejor que podemos hacer.
En términos de $x_n$ , $a$ et $b$ esto es $$ x_n = a + \sqrt{(n - 1)(b^2 - a^2)} $$
En su problema $a = .5$ y $b^2 = .61$ . Conectando, se encuentra que $$ x_n = 2.3 $$ es lo mejor que puedes hacer.
Sólo tienes que solicitarlo Cauchy-Schwarz o AM-QM desigualdad a los nueve números más pequeños, se obtiene (WLOG asume $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{10}$ )
$$ \left(\sum_{i=1}^9 x_i\right)^2 \le 9 \left( \sum_{i=1}^9 x_i^2\right)\\ \iff (5-x_{10})^2 \le 9(6.1-x_{10}^2) \\ \iff 10x_{10}^2 - 10x_{10} - 29.9 \le 0 \\ \implies x_{10} \le 2.3.\blacksquare$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
