Distancia en el espacio métrico, problema de desigualdad de triángulos

Question

Dejemos que $(X, d)$ sea un espacio métrico. Sea $t\in (0,1]$ . Demostrar que $d^t: X\times X\to\mathbb{R}$
$$d^t (x,y) := d(x,y)^t, \forall x,y\in X$$ es también una función de distancia.
El bit problemático es la desigualdad del triángulo, cuando $0<t<1$
$$d (x,y)^t\leq d (x,z)^t+d (z,y)^t$$ No estamos seguros de cómo abordar esta cuestión: sabemos que si $0<x<1, y\geq 1$ y $0<t<1$ entonces $x<x^t<1$ y $1\leq y^t\leq y$ . Por lo tanto, si $d(x,y)<1$ y al menos una de las distancias de la derecha es $\geq 1$ Entonces todo está bien.

En general, creo que se me escapa algo de estos problemas, siempre quiero trabajar sistemáticamente en todos los casos posibles. No parece ser demasiado eficiente. Por favor, den pistas sobre cómo resolver el problema.

Answer 1

Creo que ahora lo tengo (espero no confundir las cosas de nuevo). Configurando $a := d(x,z)/d(x,y), b:= d(z,y)/d(x,y)$ el problema se reduce a mostrar

$$ a^t + b^t \geq 1$$ Si $0 < x < 1$ , para $0 < t < 1$ tenemos $ x < x^t$ , lo que da $$ \left(\frac{a}{a+b}\right)^t + \left(\frac{b}{a+b}\right)^t \geq \left(\frac{a}{a+b}\right) + \left(\frac{b}{a+b}\right) = 1$$

que muestra

$$ a^t + b^t \geq (a+b)^t \geq 1$$ como $a+b\geq 1$ .