Cómo demostrar la desigualdad $ \frac{1-e^{-x^2}}{x^2}e^{-(x-n)^2}<\frac{2}{n^2}$ para $0<x<n$

Question

¿Puede alguien demostrar que esta desigualdad es cierta para $0<x<n$ ?

$$ \frac{1-e^{-x^2}}{x^2}e^{-(x-n)^2}<\frac{2}{n^2}$$

Estoy bastante atascado.

Answer 1

Podemos observar que $\frac{1-e^{-x^2}}{x^2}\leq \frac{2}{2+x^2}$ para cualquier $x\in\mathbb{R}$ y $e^{-(x-n)^2}\leq \frac{1}{1+(x-n)^2}$ para cualquier $x\in[0,n]$ Por lo tanto, basta con demostrarlo: $$ \forall x\in(0,n),\qquad \frac{2}{2+x^2}\cdot\frac{1}{1+(n-x)^2}<\frac{2}{n^2} \tag{1}$$ o: $$ \forall x\in(0,n),\qquad (2+x^2)\cdot(1+(n-x)^2) > n^2\tag{2} $$ Pero debido a la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos:

$$ \forall x\in(0,n),\qquad (\sqrt{x^2+1}^2+1)(1+(n-x)^2)\geq \left(\sqrt{x^2+1}+n-x\right)^2 \tag{3}$$

así que $(2)$ es trivial, $(1)$ y la afirmación queda demostrada.

Answer 2

Lo primero que hay que intentar con este tipo de desigualdades es poner $y=\frac{x}{n}$ y tratar de demostrar la igualdad resultante para $0<y<1$ .

Esto parece una buena idea en este caso porque multiplicando ambos lados por $x^2$ dará un poder de $\frac{x}{n}$ en el lado derecho, y en el lado izquierdo $(x-n)$ es $n$ veces $(\frac{x}{n}-1)$ .

Así que:

1. Multiplica ambos lados por $x^2$ .
2. Sustituir $x=ny$ .
3. Simplifica.

Answer 3

Quería encontrar otra respuesta diferente a la elegante que dio Jack D'Aurizio. Esto es lo que obtuve. $$\frac{1-e^{-x^2}}{x^2}e^{-(x-n)^2}<\frac{2}{n^2}\iff \frac{e^{x^2}-1}{x^2}\lt\frac{2e^{x^2+(x-n)^2}}{n^2}$$ Dejemos que $$f(x)= \frac{e^{x^2}-1}{x^2}\\g(x)= \frac{2e^{x^2+(x-n)^2}}{n^2}$$ Observe en primer lugar que $f$ y $g$ son ambas funciones convexas y que $g(0)=g(n)=\frac {2e^{n^2}}{n^2}$ . Además de $$f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)=1\lt \frac {2e^{n^2}}{n^2}=g(0)$$ además $g$ toma su mínimo en $x=\frac n2$ y $$f(\frac n2)=\frac{4(e^{\frac{n^2}{4}}-1)}{n^2}\lt \frac {2e^{\frac{n^2}{2}}}{n^2}=g(\frac n2)$$ ( se comprueba inmediatamente que $2(e^{\frac x2}-1)\lt e^x$ para todo x ).

Se deduce por convexidad de ambas funciones y por $$f(0)\lt g(0) \text { and}\space f(\frac n2)\lt g(\frac n2)$$ que $$\color{red}{f(x)\lt g(x)\text { for}\space 0\lt x\le \frac n2}\qquad (*)$$ Además de $$f(n)= \frac{e^{n^2}-1}{n^2}\lt\frac {2e^{n^2}}{n^2}=g(n)$$ y de forma similar, por convexidad, $f(\frac n2)\lt g(\frac n2)$ y $f(n)\lt g(n)$ tenemos

$$\color{red}{ f(x)\lt g(x)\text { for}\space \frac n2 \le x\lt n}\qquad (**)$$

Así, por $(*)$ y $(**)$ , $$ f(x)\lt g(x)\text { for}\space 0 \lt x\lt n$$

NOTA.-Sin embargo eso no es necesario en este caso donde las funciones $f$ y $g$ son del mismo género, es mejor añadir que $f(x)= g(x)\iff x=0$ para tener un argumento totalmente válido utilizado la convexidad.

Answer 4

En primer lugar, puede elegir $t=e^{-x^2}$ y $Int=-x^2$ , entonces su desigualdad se transfiere a:

$\frac{(1-t)}{x^2}\cdot{e^{-n^2-x^2+2xn}}=\frac{t(1-t)}{x^2}\cdot{e^{-n^2+2xn}}=\frac{t(1-t)}{-Int}\cdot{e^{-n^2-n\cdot{\frac{(t)^{'}}{t}}}}<{\frac{2}{n^2}}$

$\Longrightarrow{\frac{n^2}{2}}\cdot{t(t-1)}\cdot{e^{-n^2-n\cdot{\frac{(t)^{'}}{t}}}}-Int>{0}\Longrightarrow{\frac{n^2}{2}}\cdot{t(t-1)}\cdot{e^{-n^2}}-Int>{0}$

ahora, tu pregunta es equivalente a:

$(\frac{n^2}{2e^{n^2}}-\frac{1}{t})(t)^{'}>0$

entonces puedes elegir $t=1$ y deducir:

$\frac{n^2}{2}\cdot{t(t-1)}\cdot{e^{-n^2}}-Int\vert_{t=1}=0$