Consideremos el problema no lineal
$$ \frac{1}{i}\frac{\partial{u}}{\partial{t}}-\frac{d^2u}{dx^2}=\sigma|u|^{\lambda-1}u$$ $$u(x.0)=f(x)$$
Supongamos que $u$ es una solución suave que decae lo suficientemente rápido como $|x| \to \infty$ .aquí $\sigma$ es un número real distinto de cero y el exponente $\lambda$ es mayor que 1. Demuestre que $\int_{\mathbb{R}}|u|^2dx$ es independiente de $t$ .
Lo que hice:
$$\frac{\partial}{\partial{t}}\int u\bar{u}dx=\int(\frac{\partial{u}}{\partial{t}}\bar{u}+u\frac{\partial{\bar{u}}}{\partial{t}})dx=i\int(\frac{\partial^2u}{\partial{x}^2}\bar{u}+\sigma|u|^{\lambda+1}+\frac{\partial^2{\bar{u}}}{\partial{x}^2}u+\sigma|u|^{\lambda+1})dx$$ Por integración por partes, $$ \int(\frac{\partial^2u}{\partial{x}^2}\bar{u}+\sigma|u|^{\lambda+1}+\frac{\partial^2{\bar{u}}}{\partial{x}^2}u+\sigma|u|^{\lambda+1})dx=\int\frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2}(u+\bar{u})+2\sigma|u|^{\lambda+1}dx$$ No entiendo que no lo resuelva porque parece demasiado fácil. Necesito su ayuda.
