Prueba de discontinuidad: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto f(x)=\sin(1/x)$

Question

Demostrar la discontinuidad de $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}: x\mapsto f(x)=\begin{cases} \sin\left( \frac{1}{x}\right) \quad \quad x\neq 0\\0 \quad \quad \quad \quad x=0\end{cases}$ .

Mi prueba:

Desde $\forall x\neq 0$ $f$ es una composición de funciones continuas, es continua. No es continua en $x_0=0$ ya que para $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ con $x_n:=\frac{1}{n}\to 0$ desde: $$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\sin(n)$$ Este límite no existe.

Answer 1

Si bien es cierto que $\lim_n \sin \, n$ no existe no es muy fácil de demostrar. En lugar de esto se puede tomar $x_n=\frac 2 {(2n-1)\pi}$ para ver fácilmente que $f$ no es continua en $0$ .