Encontrar la distancia mínima $d=d(C)$ de $C$

Question

La matriz de comprobación de paridad de una matriz generadora $G$ se da como $$H=\left[\begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

Estoy tratando de encontrar $d=d(C)$ .donde $C$ es un lineal $[n,K]$ código.

Las soluciones dicen en $H$ cada dos columnas son diferentes pero algunas $3$ son dependientes, por ejemplo $C_1+ C_6+C_7=0$ .

¿Cómo es que $C_1+ C_6+C_7=0$ ?

En general, ¿cómo se encuentra $d(C)$ ?

Answer 1

Sostiene que $$d(C)=\min \{ d \in \mathbb{N} | \text{ there are } d \text{ linearly dependent columns of H} \}$$

Así que en primer lugar se comprueba si se tiene una columna sólo con $0$ s. Si no es así, todos los $\{ C_i \}$ son linealmente independientes. Entonces $d \neq 1$ .

Después se comprueba si hay un $\alpha \in \mathbb{R}$ tal que $C_i= \alpha C_j$ para algunos $i,j$ tal que $i \neq j$ y $1 \leq i,j \leq 7$ . Si no es así, entonces $d \neq 2$ .

Luego se comprueba si hay $\alpha, \beta \neq 0$ tal que $\alpha C_i+ \beta C_j=C_k$ para cualquier $1 \leq k \leq 7, i, j \neq k, 1 \leq i,j \leq 7$ .

Si es así, entonces $d=3$ . De lo contrario, se continúa de la misma manera comprobando si hay $\alpha, \beta, \gamma$ tal que $C_k=\alpha C_1+ \beta C_2+ \gamma C_3$ . Si es así, entonces $d$ será igual a $4$ .

Si no, se sigue comprobando lo mismo para cuatro columnas.