En el Chow de la Que Podría Haber Inventado Espectral de Secuencias (3ª página, columna de la izquierda) aparece el siguiente isomorfismo de espacios vectoriales: $$\frac{Z_d}{B_d}\cong \frac{Z_d+C_{d,1}}{B_d+C_{d,1}}\oplus \frac{Z_d\cap C_{d,1}}{B_d\cap C_{d,1}}$$ El contexto es un 2-grado filtrado complejo de cadena $C_\bullet$.
¿Por qué esta relación? He probado el segundo teorema de isomorfismo, pero no han logrado obtener nada de él.
Después de eso, el autor dice que la ingenua esperanza de que $$E_{d,2}^{1}\overset{?}{\cong}\frac{Z_{d}+C_{d,1}}{B_{d}+C_{d,1}}=\frac{Z_{d,2}+C_{d,1}}{B_{d,2}+C_{d,1}}$$ Pero que esto no significa, en general, los mantenga. Ahora, yo sé relación de homología de grupos isomorfo al cociente de la relación de los ciclos de relación límites. No es este precisamente el cociente $\frac{Z_{d}+C_{d,1}}{B_{d}+C_{d,1}}$? Por lo tanto, no hay un isomorfismo $$H_{d}(C_{\bullet}/C_{1\bullet})\cong\frac{Z_{d}+C_{d,1}}{B_{d}+C_{d,1}}$$ donde $C_\bullet$ es el original y compleja $C_{1\bullet}$ es el complejo en el primer grado de filtración? Ahora, por definición,$E^1_{d,2}=H_d(C_{\bullet}/C_{1\bullet})$, por lo que parece el isomorfismo debajo de sí. $$E_{d,2}^{1}\cong\frac{Z_{d}+C_{d,1}}{B_{d}+C_{d,1}}=\frac{Z_{d,2}+C_{d,1}}{B_{d,2}+C_{d,1}}$$
¿Cuál es mi error? ¿Por qué no el isomorfismo de arriba siempre?
Finalmente, el autor dice que, generalmente,$E^1_{d,1} \ncong \frac{Z_{d,1}}{B_{d,1}}$. Pero no es $E^1_{d,1} = H(C_{1\bullet}/0)\cong H(C_{1\bullet})$, por definición? ($C_{1\bullet}$ es el complejo en el primer grado de filtración.) Pero $H(C_{1\bullet})=\frac{Z_{d,1}}{B_{d,1}}$, por definición, así que de nuevo, me sale el isomorfismo no espera.
¿Cuál es mi error aquí?
Añadido: no entiendo lo de los mapas de los límites $\partial ^0$. Se agradece la ayuda.
Actualización: creo que he detectado mi primer error. Aunque la definición de la relación de los límites es, de hecho, $B_d$ en relación al $C_{d-1}$ es igual a $B_d+C_{d-1}$, esto es , no cómo relativa de los ciclos definidos. En su lugar, $Z_d$ en relación al $C_{d-1}$ es igual a $ \left\{ \gamma \in C_d:\partial _d \gamma \in C_{d-1} \right\}\neq Z_d+C_{d-1}$.
Nota - para el contexto de estos relativa de los límites y de los ciclos, ver Rotman de la Introducción a la Topología Algebraica, p.99. Esto resuelve la mayoría de mis problemas, porque ahora no me va a excepción de aquellos isomorphisms. Por supuesto, me gustaría que alguien confirme que no estoy arrojando una tontería, ya que Rotman sólo se define para estos pares de espacios - sólo pensé que trabajan para las filtraciones, así (por el tercer teorema de isomorfismo).
Creo que lo único que me molesta ahora son (véase el Chow del artículo):
¿Por qué la primera relación celebrar, y qué es exactamente $\partial ^0$?
Actualización 2: creo que me he dado cuenta de lo $\partial ^0$ es. Para cada cociente $E_{d,p}^0$ nos han inducido mapa de los límites de $\partial_{d,p}^0:E_{d,p}^0\rightarrow E_{d-1,p}^0$ definido por $$\partial_{d,p}^0:[\gamma]\mapsto[\partial_{d,p} \gamma]$$ where $\parcial _{d,p}$ is the $d^{\text{th}}$ boundary of the complex $C_{p\bullet}$. $\partial ^0=\partial ^0_d:\bigoplus _{p=1}^nE^0_{d,p}\rightarrow \bigoplus _{p=1}^nE^0_{d-1,p}$ es simplemente la suma directa de todos estos inducida mapas de los límites.
Es esto correcto?
