Prueba de inducción $a_n$ es par para n $\ge$ 1

Question

$$a_1=0, a_2=2, a_3=2, ... a_k = a_{k-2}+3a_{k-3}$$ para k $\ge$ 4

El caso inicial n = 1 dado anteriormente es cierto ya que el cero es divisible por 2.

Sea n = k. Supongamos que $a_{k+1} = a_{k-2+1}+3a_{k-3+1} $

Es decir $a_{k+1} = a_{k-1}+3a_{k-2} $

Cómo demostrar por inducción que $a_n$ es par para n $\ge$ 1

Answer 1

Todo $a_i$ para $i\in\{1,2,3\}$ son pares. Obsérvese que la suma de los pares es par.

Answer 2

Utilizar la inducción fuerte en $n \geq 1$ .

Comprueba el caso base: $n = 1$ entonces $a_1 = 0 = 0\cdot 2$ : incluso

Supongamos que la afirmación es cierta para todos $k < n$ Es decir: $2|a_k$ para $k < n$ tienes que demostrarlo:

$2|a_n$ .

Desde $n - 2 < n$ y $n - 3 < n$ la hipótesis de inducción afirma que: $2|a_{n-2}$ y también $2|a_{n-3}$ Así que $2|(a_{n-2} + 3\cdot a_{n-3}) = a_n$ .

Así que: $2|a_n$ , $\forall n \geq 1$

Answer 3

Dejemos que $a_i=2.b_i$ para todos $i<k$ entonces $a_k=a_{k-2}+3.a_{k-3}=2.b_{k-2}+2.3.b_{k-3}=2.b_k$ .