¿Qué ocurre con un límite unilateral para $f(x^2)$ ?

Question

El problema concreto es: $\lim\limits_{x \to -1^-} f(x^2)$

Mi hasta ahora intentar un método de sustitución: $$x\to -1^-$$ $$u = x^2$$ $$u\to 1^\text{not sure what this is now}$$

En realidad no puedo utilizar el método para resolver esto, todavía, ya que mi subyacente no está resuelto: ¿cómo hace el $x^2$ ¿afecta a la dirección izquierda del límite?

Además, ¿hay algo mejor para resolver esto? Después de evaluar el $u\to 1^c$ (c es + o - aka izquierda o ) Pensaba entonces sustituir así:

$$\lim_{u \to 1^c} f(u)$$

Answer 1

$x\to a^-$ significa, que $x$ se acerca $a$ en las valueas que son menores que $a$ .

Así que si $x\to y=a-\epsilon$ para $\epsilon \to 0^+$ ( $\epsilon \geq 0$ ), entonces

$x^2 \to y^2 = (a-\epsilon)^2 = a^2 -2 a\epsilon +\epsilon^2$ .

Desde $a\leq 0$ tenemos

$-2 a\epsilon\geq 0$ ,

así

$a^2 -2 a\epsilon +\epsilon^2 \geq a^2$

por lo que para $a\leq 0$ tenemos $$x^2 \to (a^2)^+$$

EDITAR

He estado pensando en una explicación más sencilla.

Si $i\leq j\leq0$ entonces $0\leq j^2 \leq i^2$ .

En nuestro caso tenemos $x\leq -1$ Así que $1\leq x^2$ . Así, $x^2\to 1^+$