¿Qué es? $\mathcal{L}_M$ ?

Question

Normalmente derivamos la ecuación de campo de Einstein en el vacío partiendo de Acción E-H $$S= \int{\sqrt{-g}d^4x(\frac{c^4}{16\pi G})R}.$$

Pero en caso de que quisiéramos conseguir

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu},$$ es decir, en presencia de la materia, entonces la acción se presenta siempre como $$S= \int\sqrt{-g}d^4x\left(\frac{c^4}{16\pi G} R+\mathcal{L}_{M}\right).$$ ¿Qué hace $\mathcal{L}_M$ ¿aquí?

Answer 1

Si va a tener $T^{\mu\nu}$ en la h.r. de la ecuación de Einstein, entonces debes tener alguna fuente para eso $T^{\mu\nu}$ . Podría ser polvo, radiación EM o cualquier otra fuente de energía. $\mathcal L_M$ es el lagrangiano que se espera que describa estas fuentes de energía. Por ejemplo, el lagrangiano del electromagnetismo es $$ \mathcal L_M=(\nabla_{[\mu}A_{\nu]})^2 $$

Por otro lado, se puede modelar el polvo mediante $\mathcal L_M= \sqrt{p^2}$ por ejemplo. Cualquier lagrangiano que se supone que modela cualquier otro campo aparte de la gravedad se incluye en $\mathcal L_M$ .

Este lagrangiano está relacionado con $T^{\mu\nu}$ a través de $$ T^{\mu\nu}=-2\frac{\delta \mathcal L_M}{\delta g^{\mu\nu}} $$ (googlear el tensor de tensión-energía de Hilbert)

Answer 2

Este es el lagrangiano (densidad lagrangiana, para ser exactos) de todos los campos de materia, todos los términos que no son puramente gravitacionales. Suele incluir campos escalares, campos espinores, campos EM, masas puntuales, todo ese tipo de cosas.