Involución sobre el toro tal que el espacio cotizante es la esfera

Question

Me quedé atascado mientras leía esto:

Considere el toroide sentado en $\mathbb{R}^3$ como un donut en una mesa.

Entonces se ve que es invariante por una rotación de $180^\circ$ alrededor de un eje horizontal.

El cociente por dicha involución es una esfera.

Mi pregunta es ¿por qué el espacio de la órbita es una esfera?

No pude entender cómo visualizarlo

Como referencia quiero añadir esta pregunta de pila matemática ¿Es posible obtener una esfera a partir de un cociente de un toroide? - ver la primera respuesta

Gracias.

Answer 1

La función elíptica de Weierstrass puede utilizarse para demostrarlo. La curva elíptica es un toroide. La función de Weierstrass da una parametrización de una curva elíptica como una cobertura dual de la línea proyectiva ramificada en cuatro puntos. Por involución(z --> -z), obtenemos un isomorfismo a $P^1(\mathscr{C})$ .

Reconozco que estoy diciendo tonterías.

O se puede utilizar un teorema de clasificación de superficies compactas de Riemann. Tomamos tore como $C/\Lambda$ où $\Lambda$ una red de $C$ . Lo cotizamos por (z --> -z) y encontramos que es una superficie riemanne de un polígono regular de lado 0.

Podemos utilizar la función elíptica de Weierstrass para demostrarlo. La curva elíptica es un toro. La función de Weierstrass da una parametrización de una curva elíptica como un doble recubrimiento de la línea proyectiva ramificada en cuatro puntos. Por involución (z -> -z), se obtiene un isomorfismo a $ P^1 (\mathscr {C}) $ .

Reconozco que no he dicho mucho.