$B\otimes_A A[x]=B[x]$

Question

Dejemos que $A\rightarrow B$ sea un homomorfismo de anillos conmutativos. Entonces $B\otimes_A A[x]\cong B[x]$ como $B$ -algebras. ¿Cómo se puede demostrar esto de forma agradable, es decir utilizando sólo las propiedades universales y el lema de Yoneda ?

Lo que hice hasta ahora para este santo propósito: por la definición canónica de $B[x]$ tenemos $hom_{B-Alg}(B[x],-)=hom_{Set}(\left\lbrace x\right\rbrace, U-)=id_{Set}$ todos = son isomorfismos funcionales.

Answer 1

La cuestión es que ${-} \otimes_A B$ es el adjunto izquierdo del functor de olvido de la conmutativa $B$ -a las álgebras conmutativas $A$ -algebras. Así, $$\mathbf{CAlg}_B (A [x] \otimes_A B, C) \cong \mathbf{CAlg}_A (A [x], C) \cong U(C) \cong \mathbf{CAlg}_B (B [x], C)$$ y por lo tanto $A [x] \otimes_A B \cong B [x]$ .