Demostrar que $\Sigma_{i=1}^{n}(x_i - \bar x_n )^2$ se puede calcular con una recursión

Question

Concretamente con la recursión

$$\Sigma_{i=1}^{k+1}(x_i - \bar x_{k+1} )^2 = \Sigma_{i=1}^{k}(x_i - \bar x_k )^2 + \frac{k}{k+1}(x_{k+1} -\bar x_k)^2 $$

para $k = 1...n-1$ .

Sé que

$$\bar x_{k+1} = \frac{k}{k+1}\bar x_k + \frac{k}{k+1}\bar x_{k+1}$$

pero después de eso no estoy seguro. He demostrado que es cierto para $k = 2$ pero después de eso estoy atascado. Intenté abrir la parte derecha pero acabé en un marasmo de ecuaciones.

Answer 1

En efecto, hay muchas ecuaciones. Para simplificar llamemos a la suma $Q_n,$ es decir, tenemos \begin{align*} Q_n &= \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}_n)^2\\ &=\sum_{i=1}^n(x_i^2-2 x_i\bar{x}_n +\bar{x}_n^2)\\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2- 2\bar{x}_n \sum_{i=1}^nx_i + \sum_{i=1}^n\bar{x}_n^2\\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2- 2\bar{x}_n (n\bar{x}_n) + n\bar{x}_n^2\\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2- n\bar{x}_n^2 \end{align*} entonces empieza a calcular la diferencia \begin{align*} Q_n- Q_{n-1} &= \sum_{i=1}^n x_i^2- n\bar{x}_n^2 - \sum_{i=1}^{n-1} x_i^2+(n-1)\bar{x}_{n-1}^2\\ &= x_n^2 - n\bar{x}_n^2 + (n-1)\bar{x}_{n-1}^2\\ &= x_n^2 - \bar{x}_{n-1}^2 + n(\bar{x}_{n-1}^2-\bar{x}_{n}^2)\\ &=x_n^2 - \bar{x}_{n-1}^2 + n(\bar{x}_{n-1}-\bar{x}_{n})(\bar{x}_{n-1}+\bar{x}_{n}). \end{align*} Ahora usa $n(\bar{x}_{n-1}-\bar{x}_{n})=\bar{x}_{n-1}-x_n$ que se desprende de $$ n\bar{x}_n = \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^{n-1} x_i + x_n = (n-1)\bar{x}_{n-1} + x_n $$ y obtener la diferencia: \begin{align*} Q_n- Q_{n-1} &= x_n^2 - \bar{x}_{n-1}^2 + (\bar{x}_{n-1}-x_n)(\bar{x}_{n-1}+\bar{x}_{n})\\ &=x_n^2 - \bar{x}_{n-1}^2 + \bar{x}_{n-1}^2 + \bar{x}_{n-1}\bar{x}_{n}-x_n\bar{x}_{n-1}-x_n\bar{x}_{n}\\ &=x_n^2 + \bar{x}_{n-1}\bar{x}_{n}-x_n\bar{x}_{n-1}-x_n\bar{x}_{n}\\ &=(x_n-\bar{x}_{n-1})(x_n-\bar{x}_n) \end{align*} Con \begin{align*} n(\bar{x}_n-x_n) &= \sum_{i=1}^n x_i - n x_n\\ &=\sum_{i=1}^{n-1} x_i + x_n - nx_n\\ &=\sum_{i=1}^{n-1} x_i - (n-1) x_n \\ &= (n-1)\bar{x}_{n-1} - (n-1) x_n \\ &= (n-1)(\bar{x}_{n-1} - x_n) \\ \end{align*} tenemos $$ x_n -\bar{x}_n = \left(\frac{n-1}{n}\right)\left(x_{n} -\bar{x}_{n-1}\right) $$ y finalmente

$$ Q_n -Q_{n-1} = \left(\frac{n-1}{n}\right)\left(x_{n} -\bar{x}_{n-1}\right)^2. $$