Grupo fundamental de $S^{3}-X$

Question

Tengo el siguiente problema en el que estoy atascado.

Dejemos que $S^{3}$ sea la compactación de un punto de $\mathbb{R}^{3}$ . Calcule el grupo fundamental de $S^{3}-X$ , donde:

(a) $X=S^{1}=\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$ .

(b) $X$ es la unión de dos círculos no enlazados.

(c) $X$ es la unión de dos círculos enlazados.

(d) $X$ es la unión de tres círculos enlazados.

Creo que debería utilizar el Teorema de Seifert-van Kampen, pero no estoy seguro de cómo proceder. Estoy muy confundido en cuanto a cómo determinar qué conjuntos son homeomorfos a espacios más comunes de los que ya conocemos los grupos fundamentales. Creo que $S^{3}-S^{1}$ sería homeomorfo a un espacio más familiar, pero me cuesta encontrar la conexión. ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda o recomendación sobre cualquier parte de este problema!

Answer 1

(a) Tienes razón al pensar que $S^3 - S^1$ es homeomorfo a un espacio más familiar. Intuitivamente, se puede pensar en $S^3$ como $\mathbb{R}^3$ con un punto en el infinito, pero entonces puedes "traducir $S^1$ dentro de $S^3$ de manera que pase por este punto en el infinito, haciendo que la parte que falta sea sólo una línea recta que pasa por el infinito. Así que, $S^3 - S^1 \cong \mathbb{R}^3 - \{(0,0,z) \mid z \in \mathbb{R}\}$ es decir $\mathbb{R}^3$ sin el $z$ -eje. A partir de aquí, debería ser más fácil pensar en el grupo fundamental.

(b) Dividir el nuevo espacio en dos (usando SvK) y pensar en el grupo fundamental de cada uno. Puedes usar una idea similar a la de (a), pero ten cuidado porque acabas de cortar la mitad de $S^3$ .

(c) Traduce como lo anterior, pero no puedes cortarlo tan bien. Puede que necesites una idea más inteligente para rematar, pero pensar en el aspecto del espacio te ayudará aquí.