¿Cuál es la probabilidad del siguiente evento?

Question

Dejemos que $X_1, X_2, X_3, X_4$ sean variables aleatorias independientes de Bernoulli. Entonces \begin{align} Pr[X_i=1]=Pr[X_i=0]=1/2. \end{align} Quiero calcular la siguiente probabilidad \begin{align} Pr( X_1+X_2+X_3=2, X_2+X_4=1 ). \end{align} Mi solución: Supongamos que $X_1+X_2+X_3=2$ y $X_2+X_4=1$ . Entonces $(X_2, X_4)=(0,1)$ ou $(1,0)$ . Las probabilidades de $(X_2, X_4)=(0,1)$ y $(1,0)$ son ambos $1/2 \times 1/2 = 1/4$ . Si $(X_2, X_4)=(0,1)$ entonces $X_1+X_2+X_3=X_1+X_3=2$ . Por lo tanto, $X_1 = X_3 =1$ . Esto ocurre con probabilidad $1/4$ . Si $(X_2, X_4)=(1,0)$ entonces $X_1+X_2+X_3=X_1+1+X_3=2$ . Por lo tanto, $(X_1, X_3) \in \{(1,0), (0,1)\}$ . Esto ocurre con probabilidad $1/4$ . Por lo tanto, \begin{align} Pr( X_1+X_2+X_3=2, X_2+X_4=1 ) = 1/16+2/16=3/16. \end{align} ¿Es esto correcto? Muchas gracias.

Answer 1

Verifiquemos su resultado mediante una simulación utilizando un Python script:

import numpy as np

N = 10**5 # number of trials

# list of N 4-ples (X1, X2, X3, X4)
XX = [np.random.randint(2, size=4) for n in np.arange(N)]

# list of trials outcomes
P = list(map(lambda X: (X[0]+X[1]+X[2]==2)&(X[2]+X[3]==1), XX))

# average of successes 
np.mean(P) # ~ 0.18772

Desde $\frac{3}{16} \simeq 0.18772$ esto confirma su resultado.

Answer 2

Sólo hay que añadirlo como técnica complementaria:

También puede intentar utilizar la ley de la probabilidad total con el condicionamiento de $X_2$ ya que sólo $X_2$ son en común de los dos sucesos, entonces haz uso de la independencia:

$$ \begin{align} &\Pr\{X_1 + X_2 + X_3 = 2, X_2 + X_4 = 1\} \\ =& \Pr\{X_1 + X_2 + X_3 = 2, X_2 + X_4 = 1|X_2 = 0\}\Pr\{X_2 = 0\} \\ &+ \Pr\{X_1 + X_2 + X_3 = 2, X_2 + X_4 = 1|X_2 = 1\}\Pr\{X_2 = 1\} \\ =& \Pr\{X_1 + X_3 = 2, X_4 = 1|X_2 = 0\}\Pr\{X_2 = 0\} \\ &+ \Pr\{X_1 + X_3 = 1, X_4 = 0|X_2 = 1\}\Pr\{X_2 = 1\} \\ =& \Pr\{X_1 + X_3 = 2\}\Pr\{X_4 = 1\}\Pr\{X_2 = 0\} + \\ &+ \Pr\{X_1 + X_3 = 1\}\Pr\{X_4 = 0\}\Pr\{X_2 = 1\} \\ =& \frac {1} {4}\times \frac {1} {2} \times \frac {1} {2} + \frac {1} {2} \times \frac {1} {2} \times \frac {1} {2} \\ =& \frac {3} {16} \end{align}$$

Así que esencialmente has contado los casos, como lo que has hecho.

Answer 3

Sí, su solución es correcta.

---

Un comentario menor: En la última frase antes de la expresión final "esto" se refiere probablemente a cada uno de los resultados $(1, 0)$ y $(0, 1)$ en lugar de al evento $(X_1, X_3) \in \{ (1, 0), (0, 1) \}$ .