Demostrar que el espacio de Cameron-Martin es un conjunto de elementos con norma de Cameron-Martin finita

Question

Dejemos que $\mu$ sea una medida gaussiana centrada en un espacio de Banach separable $\mathscr{U}$ . La construcción del espacio de Cameron-Martin Hilbert $H_\mu \subset \mathscr{U}$ suele ser la siguiente: Sea $C_\mu: \mathscr{U}^* \to \mathscr{U}$ se define por $$ C_\mu(\ell) = \int u \ell(u) \mu(du).$$ Esto está bien definido para $\ell \in \mathcal{U}^*$ desde $\int_\mathscr{U} \|u\|^2 \mu(du) < \infty$ por el teorema de Fernique. Además, existe una incrustación natural $\mathscr{U}^* \subseteq L^2(\mu)$ . Sea $R_\mu$ denotan el cierre de $\mathscr{U}^*$ en $L^2(\mu)$ . Entonces $R_\mu$ es un espacio de Hilbert con respecto al producto interior habitual. El espacio de Hilbert de Cameron-Martin $\mathcal{H}_\mu$ se define entonces como $C_\mu(R_\mu)$ y dotado del producto interior $$ \langle h_1, h_2 \rangle_\mu = \langle C_\mu \ell_1, C_\mu \ell_2 \rangle_\mu := \langle \ell_1, \ell_2 \rangle_{L^2(\mu)}. $$

Pregunta: Se puede demostrar que para cualquier $h \in \mathcal{H}_\mu$ allí tiene $$\|h\|_{\mu} = \text{sup}_{\|\ell\|_{L^2(\mu)}\le 1} |\ell(h)|.$$ ¿Cómo se puede demostrar que $h \in \mathscr{U}$ está en el espacio de Cameron-Martin si y sólo si el sumo anterior es finito?

Answer 1

En primer lugar, observemos que para todos los $\ell, k \in \mathscr{U}^*$ tenemos la identidad $$\ell(C_\mu(k)) = \ell\left(\int u k(u)\,\mu(du)\right) = \int \ell(u) k(u) \,\mu(du) = \langle \ell, k \rangle_{L^2(\mu)}$$ por lo que, por continuidad y densidad, la misma identidad es válida para todo $\ell \in \mathscr{U}^*$ y $k \in R_\mu$ .

Supongamos que el supremum es finito. Esto significa que el mapa $\ell \mapsto \ell(h)$ es una función lineal acotada en $\mathscr{U}^*$ equipado con el $L^2(\mu)$ producto interno. Por tanto, se extiende a un funcional lineal acotado en el espacio de Hilbert $R_\mu$ que por la representación de Riesz puede identificarse con alguna $k \in R_\mu$ . Esto significa, en particular, que $\langle \ell, k \rangle_{L^2(\mu)} = \ell(h)$ para todos $\ell \in \mathscr{U}^*$ . Por la nota anterior, también tenemos $\ell(C_\mu(k)) = \langle \ell, k \rangle_{L^2(\mu)}$ para todos $\ell \in \mathscr{U}^*$ . Por el teorema de Hahn-Banach, concluimos que $h = C_\mu(k)$ y así $h \in \mathcal{H}_\mu$ .