Secuencia estrictamente decreciente

Question

Dejemos que $$a_n=\sum_{k=1}^n\sqrt{k^2+1}$$

Definir la secuencia $b_n=\dfrac{2a_n}{n} - n$ .

Necesito demostrar que la secuencia $\langle b_n\rangle_{n=1}^\infty$ es estrictamente decreciente.

Answer 1

Nota:

$\sum_{k=1}^n\sqrt{k^2+1}$ > $a_k=\sum_{k=1}^n\sqrt{k^2}$

para cualquier n positivo

Como la definición de la serie RHS (llamémosla $c_n$ ), es igual a la suma de los enteros positivos hasta n. Esta suma viene dada por la fórmula:

$$c_n=(n/2)(n+1)$$

Introduciendo esto en su definición original para $b_n$ rendimientos: $n + 1 - n$ o simplemente $1$ .

También hay que tener en cuenta que la suma para $a_n$ se acerca a $c_n$ como $n$ se acerca al infinito. Ahora, con cada aumento de n, la diferencia entre las 2 series disminuye constantemente.

La prueba de que la diferencia disminuye constantemente (de un término a otro) demuestra que $b_n$ disminuye constantemente (y según parece, se acerca a 1). Depende de ti probar esta parte crítica.

¡Buenos días! :)

Answer 2

Intenta mostrar $b_{n+1} - b_n < 0$ :

$b_{n+1} - b_n = \left[\dfrac{2a_{n+1}}{n+1} - (n+1)\right] - \left[\dfrac{2a_n}n - n\right]$

$ = \dfrac1{n(n+1)}\left[2n \sum_{k=1}^{n+1}\sqrt{k^2+1} - 2(n+1) \sum_{k=1}^n\sqrt{k^2+1} - n(n+1)\right]$

$ = \dfrac1{n(n+1)} \left[2n \sqrt{(n+1)^2 + 1} - 2 \sum_{k=1}^n\sqrt{k^2+1} - n(n+1)\right]\qquad\qquad\mbox{(1)}$

$ < \dfrac1{n(n+1)} \left[2n \sqrt{\left(n + 1 + \dfrac1{2n}\right)^2} - 2 \sum_{k=1}^n \left(k + \dfrac1{2k}\right) - n(n+1)\right]$

$ < \dfrac1{n(n+1)} \left[2n \left(n + 1 + \dfrac1{2n}\right) - n(n+1) - \ln(n+1) - n(n+1)\right]$ ... [Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(matemáticas)#prueba_integral para mostrar $\sum_{k=1}^n\dfrac1k > \ln(n+1)$ ]

$ = \dfrac1{n(n+1)} \left[1 - \ln(n+1)\right]$

$ < 0$ para todos $n \geq 2$ .

Para $n = 1$ caso: calcular: $b_2 - b_1 = \sqrt5 - \sqrt2 - 1 < 0$ .

Parte revisada para corregir el error GL5 encontrado, a raíz de (1):

$ < \dfrac1{n(n+1)} \left[2n \sqrt{\left(n + 1 + \dfrac1{2(n+1)}\right)^2} - 2 \sum_{k=1}^n \left(k + \dfrac1{2(k+1)}\right) - n(n+1)\right]$

$ < \dfrac1{n(n+1)} \left[2n \sqrt{\left(n + 1 + \dfrac1{2(n+1)}\right)^2} - n(n+1) - \sum_{k=2}^{n+1} \dfrac1{k} - n(n+1)\right]$

$ < \dfrac1{n(n+1)} \left[2n \left(n + 1 + \dfrac1{2(n+1)}\right) - n(n+1) - \ln(n+1) + 1 - \dfrac1{n+1} - n(n+1)\right]$

$ = \dfrac1{n(n+1)} \left[2 - \dfrac2{n+1} - \ln(n+1)\right]$

$ < 0$ para todos $n \geq 4$ .

Casos iniciales para $1 \leq n \leq 3$ que se haga por cálculo individual. Tener 3 casos iniciales es poco elegante. Podría haber una forma de ajustar las desigualdades para reducirlo.

Mick