Dejemos que $F$ sea un filtro. Decimos $ X \sim_{f} Y $ si $X \leftrightarrow Y$ $\in$ $F$ . Soy capaz de demostrar la reflexividad y la asociatividad de la relación pero no la transitividad. Necesito ayuda con eso. Utiliza la definición de doble implicación con operaciones de unión y encuentro.
Respuesta
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En lógica, tenemos $X\to Y\ =(\lnot X)\lor Y$ por lo que la operación de conjunto correspondiente es $X^\complement\cup Y\ \ \left( = (X\setminus Y)^\complement\ \right)$ .
Así, para los conjuntos $X\leftrightarrow Y$ significaría $(X^\complement\cup Y)\,\cap\,(Y^\complement \cup X)\ =\ (X^\complement\cap Y^\complement)\,\cup\,(X\cap Y)\ =$
$=\ (X\cup Y)^\complement\,\cup\,(X\cap Y)$ .
Para los elementos, podemos decir que $s\in X\leftrightarrow Y$ si $s$ está en ambos conjuntos, o no está en ninguno de ellos.
Una pista: Demostrar que $(X\leftrightarrow Y)\ \cap\ (Y\leftrightarrow Z)\ \subseteq\ (X\leftrightarrow Z)$ .
Actualización: En un álgebra booleana abstracta también se puede demostrar esto. Quizás sea más fácil demostrarlo primero $(X\to Y)\land (Y\to Z)\,\le\, (X\to Z)\ $ (utilizando la definición $A\to B:=\lnot A\lor B$ ), entonces podemos combinar para obtener $$(X\leftrightarrow Y)\,\land\, (Y\leftrightarrow Z) = \big((X\to Y)\land (Y\to X)\big) \ \land\ \big((Y\to Z)\land (Z\to Y)\big) \ =\\ =\ (X\to Y)\land (Y\to Z)\ \land\ (Z\to Y)\land (Y\to X)\ \le\ (X\to Z)\,\land\,(Z\to X)\,.$$
