Probar que un conjunto es abierto (con la condición de que $z \neq c$ )

Question

Considere un conjunto $A=\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 : z \neq f(x,y)\}$ , donde $f:X \rightarrow \mathbb R$ es una función continua de valor real y $X$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb R^2$ .

¿Estoy en lo cierto al decir que si $z \neq f(x,y)$ entonces esto significa que $z > f(x,y)$ o $z < f(x,y)$ que son ambos abiertos y como la unión de conjuntos abiertos es abierta $\implies z \neq f(x,y)$ está abierto, lo que demuestra que $A$ ¿está abierto?

Answer 1

Eso es correcto, pero incompleto. Si se utiliza ese enfoque, entonces el conjunto $$\{(x,t,z)\in\Bbb R^3\mid z>f(x,y)\}\tag1$$ está abierto porque es igual a $F^{-1}\bigl((0,\infty)\bigr)$ (con $F(x,y,z)=z-f(x,y)$ ), que es un conjunto abierto, porque $F$ es continua (lo que se deduce de la continuidad de $f$ ) y porque $(0,\infty)$ es un subconjunto abierto de $\Bbb R$ . Y el conjunto $\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid z<f(x,y)\}$ está abierto porque es igual a $F^{-1}\bigl((-\infty,0)\bigr)$ que es un conjunto abierto, porque $F$ es continua y porque $(-\infty,0)$ es un subconjunto abierto de $(-\infty,0)$ .

Por supuesto, sería más sencillo decir que $(1)$ está abierto porque es igual a $F^{-1}(\Bbb R\setminus\{0\})$ y porque $\Bbb R\setminus\{0\}$ es un subconjunto abierto de $\Bbb R$ .