Explicación del teorema del punto fijo de Brouwer en una dimensión.

Question

Estoy leyendo esta prueba del teorema del punto fijo de Brouwer utilizando la conexión del intervalo $[a...b]$. Estoy tratando de entender por qué $U$ y $V$ son abiertos en $[a...b]$.

Existen varios criterios/definiciones, pero no estoy seguro de cuáles se aplican y cuáles no:
$\bullet$ $U \subset [...]$ es abierto si para todo $x \in U$, hay un intervalo abierto que contiene a $x$ y que está contenido en U.
$\bullet$ $[...]$ es un subconjunto de los números reales y requerimos que $U$ sea la intersección de $[a...b]$ y un conjunto abierto en $\mathbb{R}$?
$\bullet$ Dado que $f$ es continuo, queremos mostrar que la imagen de $U$ es abierta en el codominio $[a...b]$.

Por favor, dé algunas explicaciones.

---

Edición: hay una segunda prueba, como en el segundo párrafo de esta imagen a continuación.

Me encontré con un problema algo similar donde no puedo asegurar por qué los conjuntos $U = \{x \in I | f(x) < x \}$ y $V = \{x \in I | f(x) > x \}$ son abiertos en $I$. Puedo ver que si elegimos la topología en el codominio como $\{ \{0,1\},\{0\}, \{1\}, \emptyset \}$ entonces el análisis se realiza (usando la definición de función continua como "los preimágenes de conjuntos abiertos son abiertos"). Pero ¿por qué esta topología en particular? ¿Qué indicaciones hay de que se elige esta topología?

Answer 1

Si $f$ es continua, entonces la función $g(x) = f(x) - x$ también es continua. Tenga en cuenta que $x \in U \iff g(x) < 0$. Por lo tanto, $$U = g^{-1}((-\infty, 0))$$ y por lo tanto $U$ es abierto. ¿Puedes resolverlo para $V$?

Puedo ver que si elegimos la topología en el co-dominio como $\{ \{0,1\},\{0\}, \{1\}, \emptyset \}$ entonces el análisis se realiza (utilizando la definición de función continua como "las preimágenes de conjuntos abiertos son abiertas"). Pero ¿por qué esta topología en particular? ¿Qué indicaciones hay de que esta topología fue elegida?

La topología es la topología euclidiana ordinaria. Si ponemos una topología diferente en el intervalo $[0, 1]$, siempre seremos explícitos y claros al respecto, porque con una topología diferente este objeto es muy diferente del intervalo ordinario, y probablemente debería tener un nombre diferente. En particular, los teoremas de Brouwer son sobre subconjuntos de $\mathbb R^n$ con su topología habitual.

Answer 2

Considera la función $h:[0,1]\to[-1,1]$ definida por $h(x)=f(x)-x$. Dado que $f$ y la función identidad son continuas, también lo es $g$. Observa que $U=h^{-1}((-\infty,0)\cap[-1,1])$ y $V=h^{-1}((0,\infty)\cap[-1,1])$. Ahora, los intervalos abiertos son abiertos en la topología usual de $\mathbb R$ y por lo tanto $(0,\infty)\cap[-1,1]$ y $(-\infty,0)\cap[-1,1]$ son abiertos en la topología de subespacio de $[-1,1]$. Como $h$ es continua, la preimagen de un conjunto abierto es abierta. Por lo tanto, $U$ y $V$ son abiertos en $[0,1]$.

Ahora, en la segunda prueba, $g$ es una función de $I$ en $\{0,1\}$. Aquí, $\{0,1\}$ está equipado con la topología discreta. Un espacio topológico $X$ es conexo si y solo si todas las funciones continuas de $X$ en $\{0,1\}$ son constantes, donde $\{0,1\}$ es el espacio de dos puntos dotado de la topología discreta (1).