$R^n$ puede ser descompuesto en una unión de contables cerrados disjuntos bolas y un conjunto null

Question

Este es un problema de Frank Jones Lebesgue integración en el espacio Euclidiano (p.57),

$$\mathbb{R}^n = N \cup \bigcup_{k=1}^\infty \overline{B}_k$$

donde $\lambda(N)=0$, y el cerrado bolas son disjuntas.

podría uno dar algunos consejos?

Answer 1

Corregir algunos dimensión $d \geq 1$. Esto es suficiente para demostrar que el subespacio $X = [0,1)^d \subset \mathbf{R}^d$ es la unión de un discontinuo de la familia de cerrados bolas y un conjunto null (con respecto a la medida de Lebesgue $\lambda$$X$). Vamos a llamar a cualquier subconjunto de a $X$ con la forma $\prod_{i=1}^d[x_i,x_i + s)$ donde $s>0$ un cuadro. Un discontinuo de la unión de un número finito de cajas (resp. cerrado bolas) se llama una plaza (resp. ronda) set. Utilizando una cuadrícula de construcción, no es difícil ver que cada subconjunto abierto de $X$ es distinto de la unión de countably muchas cajas. Por lo tanto de la siguiente manera:

Lema 1: Si $U$ es un subconjunto abierto de $X$ $\epsilon > 0$ no es un cuadrado $S \subset U$$\lambda(U) - \lambda(S) < \epsilon$.

Deje $a \in (0,1)$ ser una constante (dependiendo $d$) de tal manera que cada caja contiene una bola cerrada de $a$ veces la medida. La elección de una pelota para cada cuadro en un cuadrado, se obtiene:

Lema 2: Para cada cuadrado $S \subset X$ hay una ronda de establecer $R \subset S$ tal que $\lambda(R) = a \lambda(S)$.

Elija $\epsilon > 0$, de modo que $(1-a) + \epsilon < 1$. Ahora podemos construir la familia deseada de bolas disjuntas. Vamos a construir recursivamente para cada una de las $n=1,2,\ldots$, una ronda de establecer $R_n$ tal que $\lambda(X - R_n) \leq (1-a)^n + (1-a+\epsilon)^n$.

Desde $X$ es de la plaza, hay una ronda de establecer $R_1$ (sólo un balón en realidad) con $\lambda(R_1) = a \lambda(X) = a$ donde $\lambda(X - R_1) = 1-a \leq (1-a) + (1-a+\epsilon)$.

Ahora supongamos que $R_n$ $n \geq 1$ y $\lambda(X - R_n) \leq (1-a)^n + (1-a+\epsilon)^n$ mantiene. Desde $X-R_n$ está abierto, lema 1 nos da un cuadrado $S$ disjunta de a$R_n$$\lambda(R_n) - \lambda(S) \leq \epsilon^{n+1}$. Entonces, por el lema 2, hay una ronda de establecer$R \subset S$$\lambda(R) = a \lambda(S)$. Poner a $R_{n+1} = R_n \sqcup R$ vemos que:

\begin{align*} \lambda(X-R_{n + 1}) &= \lambda(X - R_n) - \lambda(R)\\ &= [ \lambda(X-R_n) - \lambda(S)] + (1-a) \lambda(S)\\ &\leq [ \lambda(X-R_n) - \lambda(S)] + (1-a) \lambda(X-R_n)\\ &\leq \epsilon^{n+1} + (1-a)[(1-a)^n + (1-a+\epsilon)^n]\\ &= [\epsilon^{n+1} - \epsilon (1-a+\epsilon)^n] + (1-a)^{n+1} + (1-a+\epsilon)^{n+1}\\ &\leq (1-a)^{n+1} + (1-a+ \epsilon)^{n+1} \end{align*}

y el límite establecido. Es claro de nuestra construcción que $\bigcup_{n=1}^\infty R_n$ es un discontinuo de la unión de cerrado de bolas y el obligado muestra que su complemento en $X$ es un valor nulo conjunto de lo que estamos hecho.

Esperemos que esto no tiene demasiados errores y es algo legible. No me esperaba el análisis parte del problema a ser tan meticuloso como resultó ser, cuando empecé a escribir esto...

Answer 2

que es una exageración, pero usted puede utilizar Vitali-Lebesgue cubriendo teorema (cubren los subconjuntos finitos de medida, así por ejemplo, descomponer $\mathbb{R}^n$ a los cubos, hyperplanes y, a continuación, cubrir el interior de cada uno de los cubos)

Answer 3

Divida $\mathbf R^n$ en un entero de malla $\mathcal M_0$, que es dividir el espacio en cubos con números enteros vértices. Ahora llenar los cubos con el cierre de bolas de diámetro $\frac12$, llame a esta malla de bolas $\mathcal C_0$. Ahora podemos obtener de $\mathcal M_0$ una secuencia infinita de mallas $\mathcal M_k = 2^{-2k} \mathcal M_0$ dividiendo los lados en $2^{2k}$ partes. Así, para cada cubo en $\mathcal M_k$ obtenemos $2^{2n}$ cubos en $\mathcal M_{k + 1}$ y cada cubo en $\mathcal M_k$ tiene cara de longitud $2^{-k-1}$, por lo que tienen el diámetro de $\sqrt{n} 2^{-k-1}$.

A partir de estas mallas tenemos mallas de cerrado bolas $\mathcal C_k$ igual que hemos obtenido $\mathcal C_0$.

Ahora defina $\Omega_k = \{Q \in \mathcal C_n : n = 1,\ldots, k - 1\}$, estos son todos los anteriores bolas. Así que la "portada" del espacio es ahora

$$\mathcal F = \bigcup_k \{Q \in \mathcal C_k : Q \cap \Omega_k = \emptyset\}.$$

Tenga en cuenta que $\mathcal F^c = \bigcap_k \{Q \in \mathcal C_k : Q \cap \Omega_k \neq \emptyset\}$.

Intente #2. La idea es llenar la malla con bolas donde hay horizontalmente y verticalmente el espacio de uno de los diámetros de entre ellos, entonces podemos dividir la malla lados nuevamente en $4$ piezas, llenar esos de nuevo, a continuación, asegúrese de que usted sólo tiene que seleccionar la discontinuo.

Answer 4

Aquí es una idea sin todos los detalles.

Corregir algunos esfera de embalaje con el positivo de la densidad de $d$, de modo que todas las esferas de radio $1$.

Un positivo proporción $c$ del complemento de cualquier colección de esferas de radio mínimo de $1$ es de distancia de al menos $\epsilon$, lejos de las esferas.

Cambiar la escala de la esfera de embalaje para ser esferas de radio $\epsilon$ a cubrir por lo menos el $dc$ del complemento.

Recorrer, por lo que en el paso $n$ utiliza esferas de radio $\epsilon^n$ a cubrir por lo menos el $dc$ veces más de lo que no hemos cubierto antes.

Answer 5

Esta es una idea que no puedo ver si termina de funcionar o no. Tal vez alguien puede?

Consideremos el conjunto a $\mathcal S$ de todas las familias de cerrado de bolas en $\mathbb R^n$ que son pares distintos. Ordenado por inclusión, este poset satisface la hipótesis en el lema de Zorn, por lo que existen máxima elementos $S\in\mathcal S$. Uno podría esperar para $S$ a ser candidato a...

Ahora: es $\mathbb R^n\setminus\bigcup_{B\in S}B$ nulo? No veo cómo probar esto...

Observe, sin embargo, que cada descomposición como los gylns quiere dar un elemento maximal en $\mathcal S$.

Más tarde: Esta idea no funciona: Mike ha explícitamente construido un contraejemplo en los comentarios de abajo.

Hay una manera de solucionar este problema? Quiero decir: se puede seleccionar un conjunto más pequeño $\mathcal S$ tales que la unión de su máxima elementos han null complemento?