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¿Cuántas combinaciones de 3 los enteros alcanzan un número determinado?

Tengo 3 números

M=10

N=5

I=2

Supongamos que me han dado el número R como entrada que es igual a 40

así que de cuántas maneras estos 3 los números se organizan para alcanzar 40

Por ejemplo

10+10+10+10

10+5+5+5+5+10

5+5+5+5+5+5+5+5

etc.

Kow me puede dar fórmulas suponiendo que paso cualquier número por ejemplo. 30 etc.

¿Cuáles son las fórmulas para calcular el número de estos 3 combinaciones de enteros a un número dado?

¿UN EJEMPLO MÁS?

Supongo que el número es el 7

combinaciónare 2 estos son

5+2

2+5

2voto

Jason Weathered Puntos 5346

Esto no es una fórmula, pero proporciona una forma de calcular el número que se desea. Sea f(n,k) denotan el número k -suma de los números 2 , 5 et 10 cuyo valor es n . Utilizando la función generadora exponencial, f(n,k) es el coeficiente de xnykk! en la expansión de G(x,y)=exp(y(x2+x5+x10)). Por lo tanto, el coeficiente de x40 en G(x,y) es P40(y)=y424+y512+y648+y7720+19y813440+y9480+y102880+y1186400+y127257600+y137257600+y1487091200+y161307674368000+y172615348736000+y202432902008176640000. El número de sumas de cuatro términos con valor 40 es el coeficiente de y44! en esta suma, que es 1 el número de sumas de cinco términos es el coeficiente de y55! que es 10 el número de sumas de seis términos es el coeficiente de y66! que es 15 y así sucesivamente.

Añadido: Una forma sistemática de extraer la respuesta a la pregunta del post original es definir el operador diferencial D=1+y+22y+33y+. Entonces DP40(y)|y=0=4646. Aplicando este operador a G(x,y) da la función generadora de una sola variable DG(x,y)|y=0=j=0(x2+x5+x10)j=11x2x5x10. Una raíz del denominador es 1 . Si se pueden encontrar las diez raíces, entonces se puede realizar la descomposición parcial de la fracción y obtener una forma cerrada para todos los coeficientes. Realizando esto numéricamente se obtiene la fórmula (0.142857)(1.)n+(0.134950.118936i)(0.9772240.533462i)n+(0.13495+0.118936i)(0.977224+0.533462i)n+(0.03250190.00923824i)(0.289460.81605i)n+(0.0325019+0.00923824i)(0.28946+0.81605i)n+(0.078652+0.0284466i)(0.3577960.943739i)n+(0.0786520.0284466i)(0.357796+0.943739i)n+(0.04338430.0370765i)(0.771384+0.483182i)n+(0.0433843+0.0370765i)(0.7713840.483182i)n+(0.278166)(1.27501)n, que da resultados precisos para n=40 . El líder de los grandes n El comportamiento asintótico viene dado por el último término de esta expresión, 0.2781662298364124×(1.2750078449285394)n.

0voto

Markus Scheuer Puntos 16133

Esta es una forma ligeramente diferente de calcular el número de [composiciones](https://en.wikipedia.org/wiki/Composition%28combinatorics%29)_ de 40 generado a partir de 2,5 y 10 .

Dado que una selección de 2,5 o 10 puede representarse como x2+x5+x10 comenzamos con el _función generadora ordinaria \begin{align*} \frac{1}{1-\left(x^2+x^5+x^{10}\right)}=\sum\{j=0}^\infty\left(x^2+x^5+x^{10}\right)^j \end{align*} proporcionando el número de ocurrencias de cero o más selecciones de 2,5 o 10 .

Nos interesa el coeficiente de x40 y ampliar la serie en consecuencia. Es conveniente utilizar el coeficiente de operador [xn] para denotar el coeficiente de xn de una serie.

Obtenemos \begin{align*} [x^{40}]&\frac{1}{1-\left(x^2+x^5+x^{10}\right)}\\ &=[x^{40}]\sum_{j=0}^\infty\left(x^2+x^5+x^{10}\right)^j\\ &=[x^{40}]\sum_{j=0}^\infty x^{2j}\left(1+x^3+x^7\right)^j\\ &=\sum_{j=0}^{20}[x^{40-2j}]\sum_{k=0}^{j}\binom{j}{k}\left(x^3+x^8\right)^k\tag{1}\\ &=\sum_{j=0}^{20}[x^{40-2j}]\sum_{k=0}^{j}\binom{j}{k}x^{3k}\left(1+x^5\right)^k\\ &=\sum_{0\leq k\leq j\leq 20}\binom{j}{k}[x^{40-2j-3k}]\sum_{l=0}^{k}\binom{k}{l}x^{5l}\qquad\qquad 2j+3k\leq 40\tag{2}\\ &=\sum_{0\leq l\leq k\leq j\leq 20}\binom{j}{k}\binom{k}{l}\quad\qquad\qquad\qquad\qquad2j+3k+5l=40\tag{3} \end{align*}

Comentario:

  • En (1) utilizamos la linealidad del coeficiente de y la regla \begin{align*} [x^{n-m}]A(x)=[x^n]x^mA(x) \end{align*}

  • En (2) utilizamos otra notación para la suma y respetamos que la potencia 40-2j-3k es no negativo. Para obtener un coeficiente con una contribución >0 tenemos que elegir 40-2j-3k=5l . Esto se hace en el siguiente paso.

En (3) vemos que para cada triple (j,k,l) que cumple con

\begin{align*} &0\leq l\leq k\leq j\leq 20\\ &2j+3k+5l=40 \end{align*}

tenemos una contribución de \binom{j}{k}\binom{k}{l} .

Estos triples son

\begin{array}{rrrrr} j&k&l&\binom{j}{k}\binom{k}{l}&\sum\\ \hline 4&4&4&1&1\\ 5&5&3&10&11\\ 6&6&2&15&26\\ 7&7&1&7&33\\ 8&3&3&56&89\\ 8&8&0&1&90\\ 9&4&2&756&846\\ 10&5&1&1260&2106\\ 11&6&0&462&2568\\ 12&2&2&66&2634\\ 13&3&1&858&3492\\ 14&4&0&1001&4493\\ 16&1&1&16&4509\\ 17&2&0&36&4645\\ 20&0&0&1&\color{blue}{4646}\\ \end{array}

resultando finalmente en

\begin{align*} [x^{40}]&\frac{1}{1-\left(x^2+x^5+x^{10}\right)}=4646 \end{align*}

de acuerdo con el resultado de @WillOrrick.

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