Esto no es una fórmula, pero proporciona una forma de calcular el número que se desea. Sea f(n,k) denotan el número k -suma de los números 2 , 5 et 10 cuyo valor es n . Utilizando la función generadora exponencial, f(n,k) es el coeficiente de xnykk! en la expansión de G(x,y)=exp(y(x2+x5+x10)). Por lo tanto, el coeficiente de x40 en G(x,y) es P40(y)=y424+y512+y648+y7720+19y813440+y9480+y102880+y1186400+y127257600+y137257600+y1487091200+y161307674368000+y172615348736000+y202432902008176640000. El número de sumas de cuatro términos con valor 40 es el coeficiente de y44! en esta suma, que es 1 el número de sumas de cinco términos es el coeficiente de y55! que es 10 el número de sumas de seis términos es el coeficiente de y66! que es 15 y así sucesivamente.
Añadido: Una forma sistemática de extraer la respuesta a la pregunta del post original es definir el operador diferencial D=1+∂∂y+∂2∂2y+∂3∂3y+…. Entonces DP40(y)|y=0=4646. Aplicando este operador a G(x,y) da la función generadora de una sola variable DG(x,y)|y=0=∞∑j=0(x2+x5+x10)j=11−x2−x5−x10. Una raíz del denominador es −1 . Si se pueden encontrar las diez raíces, entonces se puede realizar la descomposición parcial de la fracción y obtener una forma cerrada para todos los coeficientes. Realizando esto numéricamente se obtiene la fórmula (0.142857)(−1.)n+(0.13495−0.118936i)(−0.977224−0.533462i)n+(0.13495+0.118936i)(−0.977224+0.533462i)n+(0.0325019−0.00923824i)(−0.28946−0.81605i)n+(0.0325019+0.00923824i)(−0.28946+0.81605i)n+(0.078652+0.0284466i)(0.357796−0.943739i)n+(0.078652−0.0284466i)(0.357796+0.943739i)n+(0.0433843−0.0370765i)(0.771384+0.483182i)n+(0.0433843+0.0370765i)(0.771384−0.483182i)n+(0.278166)(1.27501)n, que da resultados precisos para n=40 . El líder de los grandes n El comportamiento asintótico viene dado por el último término de esta expresión, 0.2781662298364124×(1.2750078449285394)n.