Es $\hat u \hat p$ también un proyector si $\hat p$ es y si $\hat u$ ¿es unitario?

Question

Si $\hat p:\mathcal H\to\mathcal H_p\subseteq\mathcal H$ es un operador de proyección, y si $\hat u$ es unitaria, entonces es fácil/trivial demostrar que $\hat u \hat p \hat u^{-1}$ también es un proyector.

Pero si interpretamos la unidad $\hat u$ como una rotación en $\mathcal H$ entonces parece (al menos para mí) intuitivo que $\hat u\hat p$ debe ser también un proyector, simplemente girando que $\hat p:\mathcal H\to\mathcal H_p\subseteq\mathcal H$ subespacio en otro subespacio $\hat u:\mathcal H_p\to\mathcal H_{up}$ . Pero parece que no puedo conjurar una prueba de que $\hat u\hat p$ también es un proyector.

Entonces, ¿es cierto para empezar, y si es así, puede proporcionar o citar tal prueba? Y si no, ¿cuál es el problema de ese "razonamiento de rotación"? (Lo único que se me ocurre es que tal vez la rotación $\mathcal H_p$ resulta en un subconjunto de $\mathcal H$ que ya no es completa con respecto a la multiplicación escalar o la suma de vectores, o algo así. Pero si no me equivoco, sigue siendo completo con respecto a esas operaciones, y por lo tanto sigue siendo un subespacio).

Answer 1

No, no es cierto. Los proyectores son, por definición, idempotentes; sin embargo, en general $(\hat u\hat p)(\hat u \hat p) \neq \hat u \hat p$ . Como ejemplo trivial, dejemos que $\hat u = -\mathbb I$ que mapea $\psi\in\mathcal H \mapsto -\psi$ . Desde $\hat u$ se desplaza con todo, $$(\hat u \hat p)(\hat u \hat p)=\hat p^2 = \hat p \neq \hat u \hat p$$

Como segundo contraejemplo, consideremos $\mathcal H = \mathbb R^3$ con $\hat p = \pmatrix{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}$ la proyección sobre el $(x,y)$ avión. Si $\hat u$ es una rotación alrededor del $z$ -eje, entonces debería estar claro que $\hat u \hat p$ no será idempotente (a menos que la rotación sea trivial). Además, si $\hat u$ es, por ejemplo, un $\pi/4$ rotación sobre el $x$ -eje, entonces las aplicaciones sucesivas de $(\hat u \hat p)$ al vector $\psi =\pmatrix{0\\1\\0}$ dará lugar a una secuencia de vectores

$$(\hat u \hat p)^n \psi = \pmatrix{0\\1/\left(\sqrt{2}\right)^n\\0}$$

lo que ciertamente no es el tipo de comportamiento que nos gustaría en un proyector.

Answer 2

J. Murray le ha dado algunos contraejemplos, así que abordaré la otra parte de su pregunta.

El problema de tu intuición es que si $\hat p$ es un operador, $\hat U\hat p$ no es una rotación de $\hat p$ . Consideremos un operador de proyección simple $\def\ket#1{\left|#1\right\rangle}\def\bra#1{\left\langle#1\right|}\def\ketbra#1{\ket{#1}\bra{#1}}\hat p=\ketbra{\psi}$ y un operador unitario $\hat U$ tal que $\ket{\psi^\prime}=\hat U\ket{\psi}$ .

El operador $\ketbra{\psi}$ proyecta un estado en $\ket{\psi}$ . Así que si interpretamos $\hat U$ como una rotación, entonces deberíamos terminar con un operador que proyecta un estado sobre $\ket{\psi^\prime}$ . En otras palabras, el operador girado viene dado por:

$$\hat p^\prime=\ketbra{\psi^\prime}=\ketbra{\hat U\psi}=\hat U\ketbra{\psi}\hat U^\dagger=\hat U\hat p\hat U^\dagger$$

En otras palabras, tu intuición de que girar un proyector no debería cambiar el hecho de que es un proyector es correcta. Lo que ocurre es que la rotación de un proyector no se hace por $\hat U\hat p$ sino por $\hat U\hat p\hat U^\dagger$ .