Lugar del punto de intersección de las tangentes perpendiculares

Question

Esta es la pregunta a la que me refiero:

Se dibuja una tangente al círculo $(x-a)^2+y^2=b^2$ y una perpendicular tangente al círculo $(x+a)^2+y^2=c^2$ , encontrar el lugar de su punto de intersección.

Lo que hice:

Primero supuse que la intersección de las tangentes perpendiculares era $(h,k)$ y luego desde ese punto encontré la ecuación de las tangentes a los respectivos círculos y después de eso encontré las pendientes de cada tangente usando la condición de que la distancia desde el centro es igual al radio para una tangente y al final. Multipliqué las pendientes de cada tangente recibida de las respectivas circunferencias y la hice igual a $-1$ porque el producto de las pendientes de las rectas perpendiculares es $-1$ . He encontrado el locus pero no parece ser la respuesta. ¿Pueden decirme qué error he cometido o hay alguna otra forma de enfocar esta cuestión?

A continuación, las imágenes de mi trabajo:

Parte 1 del trabajo

Parte 2 del trabajo

La respuesta:

Answer 1

Hay dos pares de tangentes para los dos círculos son perpendiculares. Sean los puntos de contacto de la circunferencia $\begin{pmatrix} a+b\cos t \\ b\sin t \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} -a-c\sin t \\ c\cos t \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} a-b\cos t \\ -b\sin t \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} -a+c\sin t \\ -c\cos t \end{pmatrix}$ .

La tangente desde el primer punto: $$(a+b\cos t)x-a(x+a+b\cos t)+a^2+by\sin t=b^2$$

La tangente del segundo punto: $$(-a-c\sin t)x+a(x-a-c\sin t)+a^2+cy\cos t=c^2$$

En la solución,

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cos 2t+b\cos t-c\sin t \\ a\sin 2t+b\sin t+c\cos t \end{pmatrix}$$

Del mismo modo, tenemos otra rama $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cos 2t+b\cos t+c\sin t \\ a\sin 2t+b\sin t-c\cos t \end{pmatrix}$$

Cada rama corresponde a una diagonal del rectángulo.

Dato útil:

Ecuación de la tangente para cónicas $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ en el punto $(x',y')$ viene dada por

$$ax'x+h(y'x+x'y)+by'y+g(x+x')+f(y+y')+c=0$$