¿La no mensurabilidad de Lebesgue/Borel se debe en realidad a la no unicidad?

Question

En ZFC, toda construcción de un conjunto no medible de Lebesgue o Borel utiliza el axioma de elección. Ninguno de ellos que yo haya visto utiliza la elección para definir un único aunque es totalmente posible hacerlo (por ejemplo, en el marco de la AC, si $\kappa = |A|$ es la cardinalidad del conjunto $A$ entonces $\kappa$ es único). Por eso me he preguntado últimamente si la fuerza de la AC es suficiente por sí misma para construir un conjunto no medible.

He aquí un intento de pregunta concreta. En el lenguaje de la teoría de conjuntos (lógica de primer orden con igualdad ampliada con los axiomas ZFC), ¿existe una fórmula sin parámetros que identifique un conjunto único, no medible de Lebesgue/Borel?

Answer 1

La respuesta que sigue ha sido editada a la luz de otras respuestas y comentarios.

Hay todo tipo de modelos de $ZFC$ en el que cada es definible sin parámetros, incluidos los conjuntos no medibles; de hecho, un documento reciente de Hamkins, Linetsky y Reitz está dedicado a estos modelos "definibles puntualmente".

Además, como se señala en el comentario de Theo Buehler a la pregunta, ciertamente existen subconjuntos definibles de los reales que son $ZFC$ -probablemente no Borel .

Sin embargo, la situación es completamente diferente en lo que respecta a la mensurabilidad. El trabajo clásico de Solovay [utilizando un inaccesible] muestra que existe un modelo de $ZFC$ en el que cada subconjunto de reales en $OD(\Bbb{R})$ es medible por Lebesgue. Recordemos que $X$ está en $OD(\Bbb{R})$ si $X$ es definible con parámetros de $Ord \cup \Bbb{R}$ .

Como se señala en la respuesta de Demer, Krivine [sin un inaccesible] proporcionó un modelo de $ZFC$ en la que todo subconjunto definible ordinalmente de los reales es medible. Además, como muestra Harvey Friedman, aquí Hay un modelo de $ZFC$ [que es una extensión genérica del modelo de Solovay] en el que se cumple la siguiente propiedad:

(*) Toda clase de equivalencia de conjuntos de reales módulo de conjuntos nulos que está en $OD(\Bbb{R})$ consiste en conjuntos medibles de Lebesgue.

Tenga en cuenta que (*) implica que ningún subconjunto no medible de los reales es definible, ya que si $X$ es cualquier subconjunto definible de los reales que no es medible, entonces la clase de equivalencia $\[X\]$ de $X$ modulo conjuntos nulos satisface las dos propiedades siguientes:

(1) $\[X\]$ definible,

(2) Ningún miembro de $\[X\]$ es medible.

Así que, para resumir, la respuesta a la pregunta sobre la mensurabilidad de Lebesgue es negativa, es decir, no hay ninguna fórmula $\phi(x)$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos para la que $ZFC$ demuestra que "existe un único subconjunto no medible de reales que satisface $\phi$ ".

Sin embargo, si $ZFC$ se refuerza a $ZFC+V=L$ entonces tal fórmula hace existen, como se señala en la respuesta de Goldstern.

Answer 2

Las otras respuestas son excelentes. Pero ya que has adoptado una noción tan fuerte de definibilidad, permíteme aumentarlas con una observación positiva.

El hecho es que cualquier conjunto particular puede hacerse definible sin parámetros en una extensión forzada del universo $V$ . De hecho, existe una única definición $\varphi(x)$ , tal que para cualquier conjunto $A$ en absoluto, hay una extensión forzada $V[G]$ en el que $A$ es el único conjunto tal que $\varphi(A)$ . Además, se puede disponer que la extensión de forzamiento $V[G]$ está de acuerdo con $V$ mucho más allá de los reales, de modo que tiene los mismos reales, los mismos conjuntos de reales, los mismos conjuntos medibles y así sucesivamente durante bastante tiempo.

En particular, existe una única definición tal que para cualquier conjunto medible no Lebesgue $A$ que usted favorece, hay una extensión forzada $V[G]$ un universo alternativo de la teoría de conjuntos, en el que $A$ se define por $\varphi$ y todavía no se puede medir allí.

Permítanme explicar la prueba. Fijar un conjunto cualquiera $A$ . Sea $\kappa$ sea la cardinalidad del cierre transitivo $\text{TC}(\{A\})$ . Por lo tanto, existe una relación binaria $E$ en $\kappa$ para lo cual $\langle\kappa,E\rangle\cong\langle\text{TC}(\{A\}),{\in}\rangle$ . Este isomorfismo es único, ya que es precisamente el colapso de Mostowski. Sea $E_0\subset\kappa$ sea el conjunto de pares de codificación de ordinales en $E$ . Al estilo del teorema de Easton, dejemos que $\mathbb{P}$ sea la noción de forzamiento que codifica el patrón GCH en los cardinales regulares anteriores $2^{\aleph_0}$ para tener primero un bloque de longitud exactamente $\kappa$ en la que se mantiene la GCH, y luego una violación de la GCH y luego una secuencia de longitud $\kappa$ en el que el patrón GCH de los cardinales regulares coincide con los elementos de $E_0$ . En la extensión de forzamiento resultante $V[G]$ , el cardenal $\kappa$ y el conjunto $E_0$ y por lo tanto $E$ y por lo tanto $A$ son definibles sin parámetros. Como el forzamiento es suficientemente cerrado, no añade nuevos reales o conjuntos de reales y no afecta a la mensurabilidad. Así, en la extensión, el conjunto $A$ es definible por la fórmula $\varphi$ que expresa la decodificación del patrón GCH a $E_0$ y por lo tanto $E$ y por lo tanto $A$ . Esta idea de codificación se debe originalmente a K. McAloon.

La conclusión es que hay una especie de definición universal $\varphi$ , que puede servir para definir cualquier objeto, si sólo se aplica la definición en el universo teórico de conjuntos correcto.

Answer 3

Con respecto a la mensurabilidad de Borel, ya se señaló que existe una fórmula explícita s(x) tal que ZFC demuestra que "El conjunto { x en R: s(x) } no es Borel". (Esto no es cierto para ZF, como se señaló en otro lugar .)

En cuanto a la mensurabilidad de Lebesgue, ZFC no demuestra ni refuta lo siguiente:

Existe una definición OD (o: definición OD(R)) de un subconjunto de los reales que no es medible.

Hay una ligera confusión aquí, porque hay muchas nociones no equivalentes de definibilidad; la definibilidad OD(R) es quizás la más prominente y útil.

Pero se puede dar una fórmula explícita: Existe una fórmula phi(x) en el lenguaje de la teoría de conjuntos (sin parámetros) tal que ZFC no demuestra ni refuta

"El conjunto { x en R : phi(x) } no es medible".

De hecho, phi(x) puede ser de una forma bastante simple ( $\Delta^1_2$ como ha comentado anteriormente). He aquí una versión abreviada de phi: Para cada número real x, sea $x_1$ sea el número obtenido a partir de x borrando todos los decimales pares, $x_2$ borrando todos los decimales de impar (haga lo que quiera para los contables reales donde esto no está bien definido). Esto define un mapa de Borel que preserva la medida de $\mathbb R$ a $\mathbb R\times \mathbb R$ . Consideremos ahora el conjunto M de todos los reales x para los que existe algún $\alpha$ tal que $x_1\in L_\alpha$ pero $x_2\notin L_\alpha$ . ZFC no demuestra ni refuta que M sea medible por Lebesgue.

(Creo que el hecho de que ZFC no demuestre que M es medible se debe ya a Gödel).

Answer 4

No hay simple fórmula que describe invariablemente un conjunto de reales que no es medible por Lebesgue. La razón es que la existencia de ciertos cardinales grandes implica que todos los subconjuntos simplemente definibles de $\mathbb{R}$ son medibles por Lebesgue.

Por ejemplo, si hay infinitos cardenales de Woodin con una medida por encima, entonces $L(\mathbb{R})$ satisface el Axioma de la determinación y por lo tanto todos los conjuntos en $L(\mathbb{R})$ son medibles por Lebesgue. Aquí, $L(\mathbb{R})$ es el modelo transitivo más pequeño de ZF que contiene todos los ordinales y todos los reales; este universo contiene todos los conjuntos proyectivos y mucho más.

Parece que la situación es desesperada, pero no es del todo cierto. Recientemente se han llevado a cabo numerosas investigaciones que demuestran que la existencia de ordenamientos definibles de $\mathbb{R}$ no es incompatible con algunos de los mayores cardenales que conocemos. Sin embargo, la definición de estos bien ordenados de $\mathbb{R}$ es necesariamente muy compleja.

Answer 5

http://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model

"En particular, Krivine (1969) mostró que había un modelo de ZFC
en el que todo conjunto de reales definible por el ordinal es medible".

Si todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$ son ordinal definible entonces existe tal fórmula.