¿Cómo Hilbert Nullstellensatz generalizar el "teorema fundamental del álgebra"?

Question

Lo que es de Hilbert Nullstellensatz en el sentido de la generalización de "teorema fundamental del álgebra"?

He visto que en algunos textos se conoce como la generalización del teorema fundamental del álgebra en varias variables.

¿Cómo funciona exactamente de Hilbert Nullstellensatz se relacionan con el teorema fundamental del álgebra? También podría por favor proporcionar algunos ejemplos para mostrar que está relacionado?

Answer 1

Vamos a demostrar que el Nullstellensatz implica el teorema fundamental del álgebra en la 1D caso.

Deje $p \in \Bbb C[z]$. El Nullstellensatz dice que si tenemos otro polinomio $f \in \Bbb C[z]$, de tal manera que $f$ tiene el mismo ceros como algunos $g \in \langle p \rangle$, $f^r \in \langle p \rangle$ algunos $r \in \Bbb N$.

Supongamos ahora que existe un polinomio $p \in \Bbb C[z]$ que no tiene ceros. Claramente el polinomio $1$ tiene el mismo ajuste a cero (el conjunto vacío!); el Nullstellensatz dice que $1 = 1^r \in \langle p \rangle$ algunos $r \in \Bbb N$. Desde $1 \in \langle p \rangle$, $p$ es una constante.

Así por contraposición a cada polinomio no constante en $\Bbb C[z]$ tiene una raíz.

Answer 2

El teorema fundamental del álgebra dice que no polinomio constante a través de una algebraicamente cerrado de campo tiene una raíz.

Tenga en cuenta que $f(x) \in \mathbb C[x]$ es un no-cero constante si y sólo si el ideal $\bigl(f(x)\bigr)$ es la unidad ideal. Desde cualquier ideal en $\mathbb C[x]$ que es lo principal, otra forma de expresar el TLC es la siguiente: si $I \subset \mathbb C[x]$ no es una unidad ideal, entonces existe $z \in \mathbb C$ tal que $f(z) = 0$ todos los $f(x) \in I$. (Lo contrario también es, más o menos, obviamente.)

El Nullstellensatz dice la misma cosa por un ideal en el $\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]$, a saber: un ideal de a $I$ en este anillo no es la unidad si y sólo si existe $(z_1,\ldots,z_n)$ tal que $f(z_1,\ldots,z_n) = 0$ todos los $f \in I$. (De nuevo, si la dirección es obvio, pero sólo si la dirección no es trivial --- aunque, en realidad, en el caso de cuando el campo es $\mathbb C$, no es tan difícil de demostrar, porque $\mathbb C$ es mucho más grande que su primer subcampo $\mathbb Q$.)