¿Por qué el corte de Dedekind funciona bien para definir los Reales?

Question

Soy un estudiante de secundaria de diecisiete años y estaba estudiando algo de Análisis Real por mi cuenta. En el proceso, me encontré con el Corte Dedekind que se utiliza para construir los Reales. No consigo entender la definición de que $\mathbb R =\{ \alpha \mid \alpha \text{ is a cut} \}$ .

¿Por qué funciona esto? ¿Por qué es una buena definición para los reales? Lo que me hizo pensar realmente fue el hecho de que los cortes son subconjuntos de $\mathbb Q$ . ¿Por qué se utilizan para construir los reales?

Además, para definir los reales, hemos de considerar cortes en exactamente los puntos "reales" de la recta numérica, ¿no? Si no sabemos qué son (los Reales) cómo podemos encontrar un corte correspondiente a un real (en los puntos "racionales" no parece haber problema) y cómo puedo demostrar que son únicos.

Tal vez mis pensamientos ingenuos están obstaculizando mi progreso, pero parece que no puedo entender los cortes que se utilizan aquí. Así que, por favor, podrías elaborar tus respuestas un poco más de lo necesario para que pueda entender el concepto.

Se agradece cualquier ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Devlin K.: La alegría de los decorados (Springer, Undergraduate Texts in Mathematics)

En la teoría de conjuntos ingenua asumimos la existencia de unos dominio dado de "objetos", del que podemos construir conjuntos. ¿Qué es lo que Estos objetos no nos interesan. Nuestra única preocupación es el comportamiento del concepto de "conjunto". Esta es, por supuesto, una situación muy común situación de las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra, cuando hablamos de un grupo, no nos interesa (normalmente) lo que los elementos del grupo, sino en la forma en que la operación de grupo actúa sobre esos elementos.

La cita anterior se menciona en relación con la "definición" de conjuntos, pero muestra que esta situación es bastante común en las matemáticas.

No es importante cómo se representan los números reales, lo importante son sus propiedades.

En el caso de Cortes de Dedekind el punto de partida es que suponemos que ya hemos definido los números racionales $\mathbb Q$ y lo que de alguna manera conseguir un nuevo conjunto $\mathbb R$ que tendrá propiedades más bonitas. Esto significa que queremos definir de alguna manera un conjunto $\mathbb R$ junto con las operaciones $+$ y $\cdot$ y la relación $\le$ , de tal manera que

• tienen "todas las propiedades conocidas"; es decir $(\mathbb R,+,\cdot)$ es un campo ordenado ;
• contienen números racionales; lo que formalmente significa que existe un mapa inyectivo $e:\mathbb Q\to\mathbb R$ que preserva la suma, la multiplicación y la desigualdad;
• mejoran el conjunto de los números racionales en el sentido de que contiene todos los números "que faltan"; todo subconjunto no vacío de $\mathbb R$ que está acotado por arriba tiene un supremum, ver wikipedia: Propiedad del límite superior .

Obsérvese que los números racionales no tienen la propiedad de límite superior mínimo, el conjunto $\{x\in\mathbb Q; x^2<2\}$ no tiene un supremacía en $\mathbb Q$ .

Podemos dar muchas definiciones diferentes que cumplan las propiedades anteriores; teóricamente, todas son igual de buenas; a efectos prácticos, algunas de ellas podrían ser más fáciles de trabajar.

La construcción de reales mediante Secuencias de Cauchy tiene un espíritu similar, en este caso la propiedad que queremos añadir es la completitud como espacio métrico. (Los números racionales no tienen esta propiedad).

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Permítanme mencionar dos libros que tratan este tema:

• Artmann B: El concepto de número (Ellis Horwood, 1988). Este libro menciona varias construcciones de reales (cortes de Dedekind, secuencias de Cauchy, representación decimal, fracciones continuas). En este libro se mencionan las ventajas y desventajas de varios enfoques. (Aunque todas las construcciones conducen al "mismo" - isomorfo - conjunto de reales, algunas propiedades de $\mathbb R$ son fáciles de probar y otras pueden ser más difíciles, dependiendo del enfoque elegido).

• Ethan D. Bloch: Los números reales y el análisis real , Springer, 2001. Este libro está concebido como un libro de texto para un curso de análisis real, pero en los dos primeros capítulos se analizan en detalle las dos definiciones más habituales de los números reales.

Answer 2

Utilicemos la definición históricamente incorrecta pero hoy en día popular de cortar como un subconjunto $C$ de $\mathbb{Q}$ de manera que se cumplan las siguientes condiciones:

1. $\emptyset\neq C\neq \mathbb{Q}$ . Así que un corte es un subconjunto adecuado.
2. Si $q\in C$ y $p\in\mathbb{Q}$ y $p<q$ entonces $p\in C$ .
3. $C$ no tiene un máximo, no hay ningún elemento en $C$ mayor que todos los demás elementos de $C$ .

Ahora dejamos que todos los recortes sean números reales. Es una tarea complicada definir (!) todas las operaciones algebraicas para los cortes, pero el orden es sencillo: $C_1\leq C_2$ si y sólo si $C_1\subseteq C_2$ . La idea es que podemos identificar cada número real con el conjunto de todos los números racionales por debajo de ellos. Hemos utilizado cortes para definir los números reales, así que ¿cómo podemos formular la intuición de que todos los números reales pueden ser representados por cortes? Lo que podemos hacer es mostrar cómo podemos construir cortes a partir de números decimales. Así que dejemos que $0.d_1 d_2 d_3 d_4\ldots$ sea un número decimal. Ciertamente, es al menos tan grande como $0.d_1$ y $0.d_1 d_2$ y así sucesivamente. Y todo número mayor que cada uno de ellos debe ser al menos tan grande como el número correspondiente. Así que podemos dejar que el número real (y por tanto el corte) que buscamos sea el menor número al menos tan grande como cada uno de $0.d_1 d_2$ y así sucesivamente. Ahora $0.d_1$ es un número racional por lo que podemos identificarlo con el corte $C_1=\{q\in\mathbb{Q}:q<0.d_1\}$ y de forma similar, podemos construir todos los cortes $C_2$ , $C_3$ y así sucesivamente. Ahora queremos encontrar un número real, un corte $C$ correspondiente al número decimal. Como es al menos tan grande como $0.d_1$ tenemos $C_1\subseteq C$ . Dado que es al menos tan grande como $0.d_1d_2$ tenemos $C_2\subseteq C$ . Siguiendo así, decimos que debemos tener $\bigcup_{n=1}^\infty C_n\subseteq C$ . También queremos que el corte no sea más grande de lo necesario. Así que podemos tomar $C=\bigcup_{n=1}^\infty$ (por supuesto, hay que verificar que $\bigcup_{n=1}^\infty C_n$ es un corte). En este sentido, el conjunto de todos los cortes contiene "todos los números reales".

Ahora bien, ¿por qué la representación es única? Dejemos que $C_1$ y $C_2$ sean dos cortes diferentes y que $C_1\subset C_2$ . Entonces hay un número racional $q$ en $C_2$ que no está en $C_1$ . Además, como el corte $C_2$ no tiene un máximo, existe un número racional $q'$ en $C_2$ que es mayor que $q$ y un número aún mayor $q''$ . Dejemos que $C_q$ y $C_{q'}$ sean los cortes correspondientes. Entonces $C_1\subseteq C_q\subset C_{q'}\subset C_{q''}\subseteq C_2$ , por lo que existe esencialmente un número racional $q'$ entre $C_1$ y $C_2$ , lo que demuestra que son números reales diferentes.

Así que, intuitivamente, podemos representar cada número real mediante un corte. Y en matemáticas, nos atrevemos a utilizar los cortes como nuestra definición. Hay otras formas de definir los números reales, pero en cierto sentido son lo mismo, y este "lo mismo" necesita una larga explicación en sí mismo.

Answer 3

Una pista que puede llevarle a los cortes Dedekind es la siguiente.

Supongamos que no conoces los números reales y que sólo conoces los racionales. Un día, en clase de física, estás estudiando la trayectoria de un proyectil bajo una aceleración constante. En un ejemplo se te ocurre la ecuación $y = 2 - x^2$ donde y $y$ es la altura y $x$ es el tiempo. Resolviendo para la altura igual a cero se obtiene $x^2 = 2$ o más específicamente $2{q^2} = p^2$ si expresas $x$ como $\frac{p}{q}$ (donde $p$ y $q$ son enteros positivos).

Pero entonces llega el problema. Esa última ecuación no tiene solución. La prueba no es automática, pero esencialmente $2{p^2}$ tiene un número impar de $2$ en su factorización, y $q$ debe tener un número par. Esto se debe a lo que ocurre si se eleva al cuadrado la factorización de un número entero... las potencias posteriores deben ser todas pares, ¿no? Así que se establece que esta ecuación (y muchas como ella) no tienen solución.

Ahora bien, si cavas una fosa y repites el experimento para que el proyectil pueda pasar por debajo de la altura cero te encuentras con una situación muy impar. Un objeto físico está por encima de un determinado plano y después de un periodo de tiempo está por debajo de un determinado plano. En el transcurso de su viaje, ¿se ha saltado ese plano? La intuición física sugiere que no... incluso en un sentido estrictamente geométrico es difícil imaginar que un punto atraviese así un plano. Así que quizá haya que extender los racionales a estas nuevas cantidades "reales", igual que hubo que extender los enteros a los racionales.

Teniendo esto en cuenta, se plantea un dilema: ¿cómo abordar estas nuevas cantidades "reales" si aún no se han definido? Una idea es utilizar la eliminación. Sea cual sea esta nueva cantidad (pronto $\sqrt{2}$ ) en comparación con los racionales es mayor que cualquier racional $r$ con $r^2 < 2$ y menos que cualquier racional $s$ con $s^2 > 2$ . En el experimento, se trata de los tiempos (racionales) anteriores y posteriores al paso del punto por el plano. Esto te da dos intervalos de números racionales... un intervalo se define por la propiedad de que si contiene dos números, contiene cualquier número entre esos dos.

Ahora, para repetir, no podemos resolver el momento de la intersección utilizando los racionales, pero podemos elegir dos momentos racionales justo antes y justo después de nuestra intersección "perdida". Con un poco de trabajo, podemos incluso elegir estos dos tan cerca como queramos. Esto es una buena pista de que, en lo que respecta a la aproximación, los dos intervalos están haciendo un buen trabajo. También podemos darnos cuenta de que podemos seguir la pista de uno de los intervalos, digamos el primero, y recordaremos el segundo de forma gratuita: es simplemente el conjunto de racionales mayores que todos los racionales del primer conjunto.

Después de más ejemplos como éste, veríamos más y más ejemplos de intervalos de números racionales que no están acotados por abajo y sí por arriba. Algunos son nuevos, otros ya los hemos visto antes de toda esta especulación, como $(-\infty,r)$ . Esto es conveniente, ya que proporciona una manera de representar los racionales utilizando estos nuevos intervalos.

El último paso es definir de alguna manera las diversas operaciones matemáticas para estos intervalos marcadores de posición, de manera que podamos trabajar con las nuevas cantidades utilizando sus propiedades conocidas, y no por cómo las representamos utilizando cortes Dedekind. Esto es bastante obvio para los cortes Dedekind que representan cantidades positivas si se recuerda que primero hay que eliminar los negativos, luego hacer la operación en los conjuntos implicados y después volver a añadir los negativos.

[Nota: Mi explicación es muy floja y aproximada. Además, resulta que sumar las raíces de los polinomios siempre que crucen el $x$ -no es suficiente. Los números reales suman estos, y más, para que también haya siempre una solución a $f(x) = 0$ siempre que tenga $f(-1) > 0$ y $f(1) < 0$ para una función decreciente $f$ definido en $[-1,1]$ , no sólo polinomios, etc...]

Answer 4

Cuando construimos los reales, en realidad estamos tratando de aplicar la ingeniería inversa a algo de lo que ya conocemos las propiedades a partir de los primeros principios (al menos así es como ha ocurrido históricamente). Creo que los matemáticos tenían una buena idea de las propiedades de los números reales antes de tener una construcción real para ellos. Por tanto, "construir los reales" significa realmente crear un objeto matemático consistente que tenga todas las propiedades que deben tener los números reales.

Hay más de una construcción de $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ (clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy de los racionales, por ejemplo), pero los distintos métodos son equivalentes en el sentido de que el producto final tiene todas las mismas propiedades importantes que nos interesan. De este modo, no nos importa realmente la unicidad. Esta misma idea la encontraremos una y otra vez en el contexto de los isomorfismos y homeomorfismos.

Piensa en lo que realmente distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ ...la integridad. Es decir, cada subconjunto de $\mathbb{R}$ que está acotado por encima tiene un límite superior mínimo. $\mathbb{Q}$ ciertamente no tiene esto como lo demostró Dan. Los cortes Dendekind rellenan los huecos, por así decirlo, utilizando la flexibilidad permitida en la construcción de conjuntos de números racionales de manera que el número real que representan es el que haría que el corte tuviera un límite superior mínimo si se añadiera al corte.

Esto siempre tuvo más sentido para mí la primera vez que se puso en el contexto de las operaciones. Dejemos que $\alpha, \beta$ sean cortes que representen los números reales $1, \pi$ respectivamente. ¿Qué significa añadir $\alpha$ y $\beta$ , o lo que es lo mismo $1+\pi$ ? $$\alpha + \beta =1+\pi = \{x \in \mathbb{Q}|x=r+s \; \text{ such that } \; r \in \alpha, \;\; s \in \beta\}$$ $$ = \{x \in \mathbb{Q}| x <1+\pi\}$$

En esencia, después de construir los números reales y conocer sus propiedades podemos manipularlos sin pensar en que sean realmente conjuntos o clases de equivalencia.

Answer 5

Hace tiempo que no miro la construcción, pero creo recordar que un "corte" corresponde a una división de los números racionales en dos partes distintas. Donde se produce el "corte" puede ser o no un número racional, es simplemente una división de los números racionales en conjuntos $A,B$ de manera que si $x \in A$ y $y \in B$ entonces $x < y$ .

Por ejemplo, tomemos el siguiente "corte":

• $\{x \in \mathbb{Q}|x^{2} < 2$ o $x < 0\}$

• $\{x \in \mathbb{Q}|x^{2} > 2\}$

Este conjunto divide claramente los racionales, pero el "corte" en sí, el punto real de la división, no corresponde a ningún número racional. Si tomamos el conjunto de todas las particiones posibles, no sólo podemos incluir los racionales (ya que ciertamente "cortamos" los números racionales en números racionales), sino que también podemos incluir números irracionales como $\sqrt{2}$ como en el ejemplo anterior. Así llegamos al conjunto de los números reales, el conjunto de todas las particiones, el conjunto de todos los "cortes", en la recta de los números racionales.