[editar]La idea básica es esta: En la línea de los números reales, para llegar desde, por ejemplo, $a=2$ a $b=5$ , hay que ir $b-a=3$ . Si uno va sólo a medias, termina en $a+(b-a)\cdot\frac{1}{2}=3.5$ . Para llegar a $4$ , hay que recorrer dos tercios del camino, ya que $4=a+\frac{2}{3}\cdot(b-a).
Estas consideraciones se pueden aplicar de forma independiente para cada dimensión del espacio: Para llegar desde el punto $A$ a la coordenada x del punto $B$ de la coordenada x, ¿hasta dónde tengo que llegar? Si en cambio voy sólo a $P$ de la coordenada x, ¿qué fracción del camino es esta? Pero cuando se pasa realmente de $A$ hacia $B$ hasta que su coordenada x sea igual a $P$ la coordenada y probablemente no será correcta. Sin embargo, con la combinación correcta de también "ir" hacia otro punto (que, importantemente, no está en el $A$ - $B$ -line), se puede conseguir la combinación correcta, que es la que he esbozado a continuación. [/edit]
Tome tres puntos en el espacio, digamos $A(x_a,y_a,z_a),B(x_b,y_b,z_b),D(x_d,y_d,z_d)$ . Entonces $\vec{AB} = (x_b-x_a,y_b-y_a,z_b-z_a)$ , $\vec{AD}$ análogamente.
Ahora bien, si empiezas en a, vas en dirección a B, pero quizá no hasta el final, digamos que sólo $0\leq s\leq 1$ ¿en qué lugar terminas? O si vas de A a D, pero sólo $0\leq t \leq 1$ ? Y si vas primero hacia B, luego en paralelo a $AD$ ? Siempre se termina dentro del paralelogramo que está definido por los puntos A, B y D. Y las coordenadas del punto son $A + s\cdot\vec{AB}+t\cdot\vec{AD}$ .
O escrito de otra manera:
$x_a(1-s-t) + sx_b+tx_d = x_p$
$y_a(1-s-t) + sy_b+ty_d = y_p$
$z_a(1-s-t) + sz_b+tz_d = z_p$
Dado $x_p$ y $y_p$ se pueden resolver las dos primeras ecuaciones para $s$ y $t$ y luego encontrar $z_p$ con el tercero. Mejor aún, con un verdadero arbitraje $s$ y $t$ se puede comprobar si cualquier otro punto dado está de hecho en el mismo plano que $A$ , $B$ y $D$ es decir, si realmente forman un cuadrilátero.
