Número de grupos no isomórficos de orden p(p primo)

Question

¿Cuál es el número de grupos no isomorfos de orden p?

He intentado buscar en varios libros de texto pero no he encontrado la solución. ¿Podemos utilizar la función Euler-phi para calcular el número de alguna manera?

Answer 1

Tomar grupo $G$ de orden $p$ , donde $p$ es primo. Sólo los divisores de $p$ son 1 y $p$ sí mismo. Por el Teorema de Lagrange, cualquier subgrupo de $G$ tiene que tener uno o $p$ elementos. Así que los únicos subgrupos de $G$ son el subgrupo de un solo elemento - que contiene sólo el elemento neutro e y todo el $G.$

Así que toma $a\in G$ que no es igual al elemento neutro. Entonces el subgrupo $\langle a\rangle_G$ generado por $a$ tiene que ser todo el $G$ . Así que puedo definir el isomorfismo de grupo $\phi: G \to {\Bbb Z}_p$ enviando $\phi(a)=1$ .

Por lo tanto, todos los grupos de orden $p$ son isomorfos al grupo (aditivo) $\Bbb Z_p$ . Así que sólo hay un grupo de orden $p$ hasta el isomorfismo.

Answer 2

Es uno. Sólo hay un grupo de primer orden $p$ , la cíclica.