Número de intersección de las curvas logarítmicas

Question

$y=\log (x)$ y $y=\frac{1}{x}$ se dibujan en un plano. Intenta encontrar el número de veces que se cruzan para valores de $x$ mayor que 1.

He equiparado los dos valores de $y$ . $$\log (x) = \frac{1}{x}$$

$$\log(x)^x=1$$ $$x^x=e$$ ¿Y luego qué?

Answer 1

$f(x) = \log x$ es una función creciente.

$g(x) = \frac1x$ es una función decreciente en el dominio positivo.

Por lo tanto, se cruzan como máximo una vez. ¿Puedes demostrar que se cruzan? ¿Por ejemplo, utilizando el teorema del valor intermedio?

Observaciones sobre su intento:

Desde $\log x = \frac1x$ tenemos $x^x = \color{red}{e}$

También de $\log x^x =1 $ (lo cual es erróneo como se ha señalado anteriormente), no podemos decir $x^x= x$ ,

Answer 2

Para $x \ge 1$ dejar $f(x)= \log(x)-1/x$ . Entonces $f(1)<0$ y $f(e)>0$ Por lo tanto, hay $x_0>1$ tal que $f(x_0)=0$ . Desde $f'(x)>0$ para $x>1$ la ecuación $f(x)=0$ tiene exactamente una solución.

Answer 3

Considere la función $$F(x)=\log(x)-\frac 1x \implies F'(x)=\frac 1x+\frac 1{x^2} >0 \qquad \forall x >0$$ Así que, $F(x)$ es una función creciente a partir de $-\infty$ por lo que sólo una raíz para $F(x)=0$ .

Mediante una inspección, $F(1)=-1$ y $F(e)=1-\frac 1e >0$ dan límites simples y se puede iniciar cualquier procedimiento para encontrar la solución.