Determina si la siguiente serie es convergente o divergente:

Question

$S=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{k}{k^{2}+1}$

Ahora, empecé diciendo:

considerar,

$\sum_{k=1}^\infty \left\lvert \frac{k}{k^{2}+1} \right\rvert$ ,

si esto converge, significa que S converge (o si esto diverge, S diverge).

Entonces dejé:

$ f(x)=\frac{k}{k^{2}+1}$ ,

$ f'(x)=\frac{1-k^2}{(k^{2}+1)^2}$ que es menor o igual a 0 para todo x en el dominio.

ahora, pensé que podría hacer la prueba integral ya que f(x) es mayor que 0, y es una función decreciente sobre D.

$\int\frac{k}{k^{2}+1}dx=[0.5ln(x^2+1)]^\infty_1$ lo que significa que f(x) es divergente ya que $ ln(\infty) $ tiende al infinito.

Ahora bien, la respuesta es que es convergente, pero ¿qué tiene de malo mi método?

Answer 1

Esta serie es convergente porque: $$\frac{k}{k^2+1}\leq\frac{k}{k^2}=\frac{1}{k}$$ Y por el Criterio de Leibnitz esta serie es convergente. Así que has encontrado una prueba de comparación directa convergente. No sé si la expresión "prueba de comparación directa" es correcta. Se llama Majorantenkriterium en alemán.

Su método es correcto para el término: $$\left|\frac{k}{k^2+1}\right|$$ ¡Pero tienes una serie alterna!

Answer 2

$$\frac{k}{k^2+1}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k(k^2+1)}\\ \sum(-1)^{k+1}\frac1k-\sum(-1)^{k+1}\frac{1}{k(k^2+1)}$$ La primera suma es condicionalmente convergente, lo que significa que converge siempre que no se reordene el orden de los términos. La segunda suma es absolutamente convergente, lo que significa que converge al mismo valor sin importar el orden en que se sumen.
Así que el total es condicionalmente convergente.

Answer 3

La serie $$\sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^{k-1}k}{k^2+1}$$ es condicionalmente convergente por el criterio de Leibniz, ya que la función $k\to\frac{k}{k^2+1}$ es decreciente hacia cero, que es lo mismo que afirmar que la función $k\to k+\frac{1}{k}=2\cosh(\log k)$ es creciente e ilimitada.

También podemos escribir la suma en forma integral aprovechando: $$\frac{k}{k^2+1}=\int_{0}^{+\infty}e^{-kx}\cos x\, dx, $$ de la cual: $$\sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^{k-1}k}{k^2+1}=\color{red}{\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos x}{1+e^x}\,dx} $$ y el lado derecho de la última identidad es claramente convergente. Explotando la función digamma, tenemos: $$\sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^{k-1}k}{k^2+1}=\frac{1}{2}\,\text{Re}\left(\psi\left(\frac{2+i}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+i}{2}\right)\right)=0.269610502708\ldots$$