¿Cómo demostrar que la siguiente integral doble es definida positiva?

Question

Dejemos que $\delta_{\min} (\cdot)$ y $\delta_{\max}(\cdot)$ representan los valores propios más pequeños y más grandes de una matriz.

Matriz dada $A(w)$ y $B(w_1, w_2)$ y $$0 < c_1 \leq \delta_{\min}(A(w)) \leq \delta_{\max}(A(w)) \leq c_2 < \infty,$$ $$\delta_{\min}\left(\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}B(w_1, w_2) \: dw_1 \, dw_2\right) \geq \xi_1 > 0,$$ $$\delta_{\max}\left(\int_{-\pi}^\pi \int_{-\pi}^\pi B(w_1, w_2) \: dw_1 \, dw_2\right) \leq \xi_2 < \infty.$$

Demuestra que la siguiente es definida positiva. $$\int_{-\pi}^\pi \int_{-\pi}^\pi A(w_1)B(w_1, w_2)A^T(w_2)\:dw_1 \, dw_2$$

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

No puedes probarlo. Es falso. Deja que $a>0$ y considerar las funciones de paso \begin{aligned} A(t)&=\begin{cases}aI&\text{if }\ 0<t\le\pi,\\ I&\text{if }\ -\pi\le t\le0,\end{cases} \\ B(s,t)&= \begin{cases}-I&\text{if }\ (s,t)\in(0,\pi]^2,\\ I&\text{if }\ (s,t)\in[-\pi,\pi]^2\setminus(0,\pi]^2.\end{cases} \end{aligned} Entonces $\int_{-\pi}^\pi\int_{-\pi}^\pi B(s,t)\,ds\,dt=2\pi^2I$ es positiva definida, pero $\int_{-\pi}^\pi\int_{-\pi}^\pi A(t)B(s,t)A(t)^\top\,ds\,dt=(3-a^2)\pi^2I$ es negativa definida cuando $a$ es grande. También se puede obtener un contraejemplo con funciones suaves modificando ligeramente $A$ y $B$ en lo anterior.