Flujo de $F(x,y,z) = (zy^2-2x,\frac{1}{4}yz+z^2,xy+2x^2+2z)$ al salir de $\Omega$

Question

Estoy tratando de calcular el flujo del campo vectorial

$$F(x,y,z) = (zy^2-2x,\frac{1}{4}yz+z^2,xy+2x^2+2z)$$

al salir de $\Omega = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert x^2 + y^2 + z^2 \leq 16, z \leq \sqrt{x^2+y^2}\}$ .

Esto es lo que he hecho hasta ahora: He calculado $\mathrm{div}(F) = \frac{1}{4}z$ . Entonces probé esta integral:

$$ \frac{1}{4}\iiint_{0}^{\sqrt{x^2 + y^2}}zdz $$ $$ \frac{1}{4} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{8}} \rho^3 d\rho d\theta$$

Entonces, esto se resume en $4\pi$ . Sin embargo, el resultado debería ser 8 $\pi$ . ¿Hay algún problema con mi razonamiento?

Answer 1

En coordenadas esféricas: $$ \int_0^{2\pi}\int_{\pi/4}^{\pi} \int_0^{4} \frac{\rho \cos \phi}{4} \rho^2 \sin \phi \;d\rho d\phi d \theta = -\frac{1}{16} \times 2\pi \times 4^3 = -8 \pi $$

Answer 2

También se puede calcular la integral en coordenadas cilíndricas: $$\int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{4} \int_{z=-\sqrt{16-r^2}}^{r\cos(\varphi)} \frac{1}{4}z r\mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=-8\pi $$ Al principio descompuse el volumen completo en dos volúmenes y después descubrí que el límite de integración para $z$ es continua.

La otra forma en coordenadas esféricas sería $$\int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{\vartheta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}\int_{r=0}^{4} \frac{r\sin(\vartheta)}{4}r^2\cos(\vartheta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}\varphi=-8\pi.$$