Confusión sobre el campo cuántico en la AQFT

Question

Por lo que sé, el campo cuántico se define mediante una distribución valorada por operadores matemáticamente. Si entiendo correctamente, en AQFT, utilizamos elementos autoadjuntos de $C$ * álgebra para describir el álgebra de los observables. Mi confusión es:

1. ¿La idea de campo cuántico está representada por elementos en el $C$ * álgebra (o su representación)?

2. Si (1) es cierto, ¿dónde va la naturaleza distributiva en AQFT (el producto de las distribuciones no está bien definido)?

Answer 1

En realidad, a menos que se trate de operadores de Weyl, al tratar con campos bosónicos en un espaciotiempo dado $M$ los operadores de campo son elementos de un $*-$ álgebra con unidad $\cal A$ . Los operadores de campo del bosón abstracto son funciones lineales con valor algebraico $$C_0^\infty(M) \ni f \mapsto \phi(f) \in \cal A \:,$$ satisfaciendo algunas propiedades más. El álgebra está formada por combinaciones lineales finitas de la unidad y productos finitos de estos elementos, untados con diferentes funciones $f$ . Se habla de distribuciones cuando se asumen otras hipótesis topológicas sobre las funciones anteriores con respecto a algunas topologías seminormales que suelen ser inducidas por estados algebraicos (funcionales lineales positivos sobre el álgebra). Se ve que, en esta etapa del formalismo, no entra en juego ningún producto de distribuciones, ya que los productos se toman entre campos untados con diferentes funciones de prueba: sólo tenemos algo así como $$\phi(f)\phi(g) = ``\int_{M\times M} \phi(x) f(x) \phi(y) g(y) d\mu(x) d\mu(y)"$$ y no objetos malos como este $$\phi^2(f) = ``\int_{M} \phi(x) \phi(x) f(x) d\mu(x)"\:. \tag{1}$$

Para el campo del bosón escalar, un $C^*$ se puede introducir el álgebra refiriéndose a los objetos formales $e^{i\phi(f)}$ llamado abstracto Operadores de Weyl . El problema es que el uso de este $C^*$ El álgebra resulta bastante engorroso (si no imposible) cuando se trata de modelos (auto)intrincados. Sin embargo, las (redes de) $C^*$ se encuentran las álgebras, incluso partiendo de simples $*$ -algebras, al pasar a una formulación de espacio de Hilbert después de haber fijado un estado algebraico. Estas condiciones especiales $C^*$ -son de hecho álgebras de von Neumann.

Los observables de la teoría son los elementos formalmente autoadjuntos del álgebra, aunque, salvo en el caso de que se trate desde cero de un unital propio $C^*$ álgebras, esta es una interpretación bastante ingenua y muchos problemas la afectan al pasar a la representación del álgebra en un espacio de Hilbert asociado a un estado algebraico dado a través del llamado Procedimiento GNS . Elementos de la $*$ -que son autoconjuntos en el álgebra no son (esencialmente) autoconjuntos en el espacio de Hilbert. Pueden no admitir ninguna o muchas extensiones autoconjuntas y esto es un problema abierto que se ha pasado por alto en AQFT formulado con $*$ -aunque existen algunas resultados parciales .

Por el contrario, el enfoque algebraico es bastante eficaz para describir nociones un poco vagas o engorrosas como la ruptura espontánea de la simetría y también para manejar simultáneamente representaciones unitarias no equivalentes de la misma álgebra de observables. También el límite termodinámico se vuelve fácil: ¡no hay límite en absoluto! La plétora de estados algebraicos es tan grande que incluye estados que ya describen el límite termodinámico desde cero. No son matrices de densidad y la termalidad está codificada en el Condición de KMS . El lenguaje AQFT es muy natural para manejar la QFT en presencia de agujeros negros para describir el Radiación Hawking y el Efecto Unruh . También la interpretación del efecto Hawking como un efecto túnel tiene una versión natural y rigurosa en AQFT en términos de propiedades de Hadamard afirma . (Como nota personal debo decir que he dedicado unos 20 años de mi carrera a estos temas, ahora estoy pasando a otras cosas).

Dicho unital $*$ álgebra $\cal A$ de un AQFT (bosónico) es, sin embargo, demasiado pequeño para incluir todos los observables interesantes de la teoría como, por ejemplo, el tensor de energía de la tensión cuyo valor de expectativa se considera la fuente del campo gravitatorio en una formulación semiclásica de gravedad cuántica . Las versiones más elementales de estos objetos son exactamente de la forma (1). Las ampliaciones del álgebra contienen de hecho generalizaciones adecuadas de productos de las distribuciones y ahí (1) tiene sentido. El hecho de que estos productos estén mal definidos es la fuente de la renormalización ultravioleta (finita).

El procedimiento de renormalización ultravioleta se describe en el AQFT de una manera directa logrando inmediatamente los contrainternos de renormalización finita sin pasar por cantidades infinitas.

Todo ello se refiere a la AQFT en un espaciotiempo determinado. Es posible formular un AQFT más avanzado que considere simultáneamente todos los posibles espaciotiempos globalmente hiperbólicos utilizando el lenguaje del teoría de las categorías . Aquí se codifican nociones un poco vagas como la covarianza general en la precisa functorial idioma. Este enfoque tiene algunas consecuencias interesantes, por ejemplo, implica que los valores de las constantes de renormalización son los mismos para todos los espaciostiempos .

Este papel que he escrito con I. Khavkine debería ser una introducción suficientemente suave a estas ideas.

Esto es parte (capítulo 5) de un libro recogiendo algunos resultados recientes sobre el tema, incluyendo el enfoque categorial y el procedimiento de renormalización.

Answer 2

Las dos partes de su pregunta ilustran dos de las motivaciones del enfoque AQFT: centrarse en los observables en lugar de en los campos, y utilizar sólo operadores acotados - operadores ordinarios que están bien definidos en todo el espacio de Hilbert.

1. En una formulación canónica de la QFT, los operadores de campo son los objetos fundamentales (matemáticamente), y los observables se expresan en términos de ellos. En un modelo típico, la mayoría de las combinaciones de operadores de campo son no observables. En cambio, la AQFT se basa directamente en los observables. En general, la $C*$ -Las álgebras de AQFT no incluyen operadores de campo, excepto en modelos especiales en los que (algunos de) los operadores de campo pueden expresarse en términos de observables. Sin embargo, los campos pueden entrar indirectamente, considerando las relaciones entre diferentes representaciones del espacio de Hilbert de la misma red de observables.

2. Una de las ventajas conceptuales del enfoque AQFT (no una ventaja computacional, sino una conceptual uno) es evitar los "operadores" distributivos, utilizando en su lugar sólo operadores que estén realmente bien definidos en todo el espacio de Hilbert. Por eso la AQFT habla de las álgebras asociadas a subconjuntos topológicamente abiertos del espaciotiempo, en lugar de hablar de operadores asociados a puntos del espaciotiempo.

Ambas cuestiones pueden entenderse con relativa facilidad utilizando red AQFT , $^\dagger$ que no es más que una aproximación de tipo AQFT a la QFT de celosía. Por ejemplo, así es como se aplica a la pregunta 2: Los operadores asociados a los puntos en la QFT de celosía pueden ser operadores bien definidos en todo el espacio de Hilbert, pero cuando consideramos el límite continuo de las relaciones de conmutación canónicas, vemos inmediatamente que un operador puede permanecer acotado sólo si se "difumina" adecuadamente sobre alguna región que permanece finita (no puntual) en el límite continuo.

$^\dagger$ Nunca he visto el nombre red AQFT usado antes. Lo he sacado del aire mientras escribía esta respuesta, porque necesita un buen nombre. Puede que no nos ayude a calcular mucho, pero sí puede ayudar a aclarar algunas cosas conceptualmente. En una cultura dominada por la teoría de la perturbación, tener una forma conceptualmente clara y matemáticamente inequívoca de pensar en las cosas puede valer mucho. Y, a diferencia de la AQFT en el espaciotiempo continuo, se sabe que la AQFT de celosía da cabida a muchos modelos no triviales y físicamente relevantes, incluyendo la QED (de celosía) y la QCD (de celosía).