Uso del método de la energía en la búsqueda de soluciones débiles de PDE .

Question

Consideremos $\Omega \subset R^n$ sea abierto, acotado y con frontera suave. Sea $f\in L^2(\Omega)$ . ¿Cómo puedo utilizar el método de la energía directa para demostrar que existe una solución débil única? $u\in H_0^1 (\Omega) \cap L^3(\Omega)$ de la siguiente ecuación.

$-\triangle u +u|u| =f$ en $\Omega$

$u=0$ en $\partial \Omega$

Me gustaría resolver este problema y conocer las estrategias en la resolución de este tipo de problemas . Me gustaría si alguien puede ayudar. Muchas gracias.

Answer 1

Las soluciones débiles de la ecuación son puntos críticos del funcional energético $$ E(u)=\int_\Omega\Bigl(\frac12|\nabla u|^2+\frac1{3}|u|^3-f\,u\bigr)dx. $$ Observe que $E(u)$ está bien definida en el espacio de Banach $X=H^1_0(\Omega)\cap L^3(\Omega)$ .

Para demostrar la existencia de una solución basta con demostrar que $E$ alcanza su mínimo en $X$ . Esto se hace demostrando que $E$ es estrictamente convexo y coercitivo (es decir $E(u)\to\infty$ si $\|u\|_X\to\infty$ ).

La unicidad se deduce (por un método diferente) porque la función $g(u)=u\,|u|$ está aumentando.

Hay muchos libros sobre métodos variacionales. Uno de ellos es Introducción a la teoría del punto crítico por O. Kavian (en francés.) Un caso más general de su pregunta se resuelve en la página 139.

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Lo que sigue es una explicación formal; no entraré en los detalles de los espacios correctos,...

La formulación débil del problema es $$ \int_\Omega\bigl(\nabla u\cdot\nabla u+u\,|u|\,v-f\,v\bigr)dx=0\quad v\text{ a test function.} $$ El funcional de energía es un funcional $E:X\to\mathbb{R}$ cuyo derivada con respecto a $u$ viene dada precisamente por la formulación débil. ¿Qué significa esto? El diferencial en $u$ se define como un elemento $E'(u)$ del dual de $X$ tal que $$ E(u+v)=E(u)+\langle E'(u),v\rangle+o(\|v\|). $$ Una forma de calcularlo es $$ \langle E'(u),v\rangle=\lim_{t\to0}\frac{E(u+t\,v)-E(v)}{t}. $$ Utilizando esto es fácil demostrar que $E(u)$ es de hecho el funcional de energía asociado a la ecuación. Obsérvese que $|u|^3/3$ es una primitiva de $u\,|u|$ .

Answer 2

Un anillo de acero de diámetro medio 250mm tiene una sección cuadrada de 2,5mm por 2,5mm. se divide mediante un corte de sierra radial estrecho. el corte de sierra se abre mucho por una fuerza de separación targencial de 0,2N. calcular la separación extra en el corte de sierra.