Aproximación bajo un operador lineal continuo

Question

Dejemos que $X,Y$ sean espacios de Banach. Sea $T:X\to Y$ sea lineal y continua con $\text{ran}(T)\neq Y$ pero $\overline{\text{ran}(T)}=Y$ . Quiero demostrar que hay una $y\in Y$ tal que para cualquier $(x_n)\subset X$ con $Tx_n\to y$ tenemos $\|x_n\|\to\infty$ .

En primer lugar, está claro que $y\in Y\setminus\text{ran}(T)$ . Creo que el enunciado se puede demostrar de forma similar al teorema del mapa abierto, pero me falta un argumento que demuestre que existe un $R>0$ tal que $\overline{T(B_R(0))}$ tiene un interior no vacío. Por favor, no me des una prueba completa; una pequeña pista es suficiente.

Answer 1

Como no quieres ver la prueba completa, voy a ocultar algunas pistas consecutivas (pasa con el ratón sobre las barras de ocultación).

Primera pista:

Argumento por contradicción: suponga $\forall y\in Y\,\,\exists x_n\in X: T(x_n)\to y \,\,\mbox{and}\,\, \|x_n\|_X\le C=C(y).$

Entonces podemos considerar:

$$\bigcup_{N=1}^{\infty}\overline{ T(B_N(0))}$$

Entonces tenemos:

$$\bigcup_{N=1}^{\infty}\overline{ T(B_N(0))}=Y$$ por la hipótesis absurda.

Y podemos concluir:

Utilizando el teorema de Baire tenemos que hay $N$ tal que $\overline{T(B_N(0))}$ tiene un interior no vacío. Pero entonces $ran (T)=Y$ , que es una contradicción con las hipótesis del problema.