Demostración: f total diferenciable entonces f continua

Question

Me gustaría demostrar que si $f: O \subseteq \mathbb{R} n \to \mathbb{R}m$ es diferenciable en $x_o \in O$ entonces $f$ es continua en $x_o$ .

Mi idea:

Si $f$ es (totalmente) diferenciable en $x_o$ entonces existe una función lineal $T$ y una función $r(x)$ para que:

• $r(x) = ||f(x) - f(x_0) - T(x-x_0)||$ con $\lim_{x \to x_0} \frac{r(x)}{||x-x_0||} = 0$ .

(esto se deduce de la definición de "diferenciable")

• Ahora dejemos que $(y_k)$ sea una serie en $O$ con $(y_k) \to x_0$ para $k \to \infty$ .

• Set $x_k = y_k - x_0$ por lo que tenemos:

• $\lim_{k \to \infty} f(y_k) = \lim_{k \to \infty} f(x_k+x_0) = \lim_{k \to \infty} (f(x_0) + T(x_k + x_0 - x_0) + r(x_k+x_0)) = f(x_0) + 0(?) + \frac{r(x_k+x_0)}{||x_k||} \cdot ||x_k|| $

Sabemos que $\frac{r(x_k+x_0)}{||(x_k+x_0)-x_0||}$ converge a $0$ (ver arriba).

¿Sabemos que $T(x_k)$ converge a $0$ ¡¿También?!

Si es así, entonces tenemos $lim_{k \to \infty} f(y_k) = f(x_0)$ . Entonces la función debe ser continua (??).

Saludos cordiales por su ayuda :-)

Answer 1

Creo que lo has complicado demasiado. Escribe: $$f(x_0+h) = f(x_0) + {\rm d}f_{x_0}(h) + r(h), \quad\mbox{with}\quad \lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{\|h\|} = 0.$$

En particular, $\lim_{h \to 0} r(h) = 0$ (¿por qué?). En los espacios vectoriales de dimensión finita, todos los mapeos lineales son continuos, por lo que $\lim_{h \to 0} {\rm d}f_{x_0}(h) = {\rm d}f_{x_0}(0) = 0 $ . Por lo tanto: $$\lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = \lim_{h\to 0}\big(f(x_0) + {\rm d}f_{x_0}(h) + r(h)\big) = f(x_0) + 0 + 0 = f(x_0),$$ y $f$ es continua.

Answer 2

Desde $f$ es diferenciable en $x_0$ existe una matriz $A$ tal que

$$f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(\|x - x_0\|).$$

Desde $\|A(x - x_0)\| \le \|A\|\|x - x_0\| \to 0$ como $x \to x_0$ y $$\lim_{x\to x_0} o(\|x - x_0\|) = \lim_{x\to x_0} \frac{o(\|x - x_0\|)}{\|x - x_0\|} \|x - x_0\| = \lim_{x\to x_0} \frac{o(\|x - x_0\|)}{\|x - x_0\|}\cdot \lim_{x\to x_0} \|x - x_0\| = 0,$$

deducimos $f(x) \to f(x_0)$ como $x \to x_0$ . Así que $f$ es continua en $x_0$ .