¿Por qué el determinante es una función multilineal?

Question

Estoy tratando de entender (la explicación intuitiva estará bien) por qué el determinante es una función multilineal y, por lo tanto, aprender cómo la operación de fila elemental afecta al determinante.

Entiendo que tiene algo que ver con la definición de determinante por permutaciones, debido a que la permutación es una biyección, en cada producto del determinante hay solo una entrada de cada fila, pero ¿qué sigue?

Answer 1

Para una explicación más "intuitiva" que la que usa la definición de permutación, puede considerar el determinante como la fórmula para el área de un paralelogramo, paralelepípedo y generalizaciones de orden superior de este. Es entonces obvio que cuando uno escala uno de los lados por un factor $\lambda$ que el área también escala con un factor $\lambda$.