Proceso de Poisson. ¿Cómo se resuelve?

Question

Supongamos que las personas inmigran a un territorio según un proceso de Poisson con un $\lambda =$ a razón de 1 por día.

¿Cuál es el tiempo previsto hasta la llegada del décimo inmigrante?

Answer 1

Si $N(t)$ es su proceso de Poisson, y $S_k$ son las épocas de llegada, estás preguntando qué es $\mathbb{E}[S_{10}]$

Pero eso es $= 10/\lambda = 10$ . Por lo tanto, 10 días.

Answer 2

El tiempo de espera entre eventos ha exponencial con el parámetro $\lambda$ . Sea $X_1$ sea el tiempo de espera hasta el primer evento, $X_2$ sea el tiempo de espera entre el primer evento y el segundo, y así sucesivamente.

Dejemos que $Y=X_1+X_2+\cdots+X_{10}$ . Queremos $E(Y)$ . Por la linealidad de la expectativa, tenemos $$E(Y)=E(X_1+\cdots+X_{10})=E(X_1)+\cdots +E(X_{10})=\frac{10}{\lambda}.$$

Answer 3

Suponiendo que no ocurra nada más en la isla: 10 días

EDIT: Para un rv de Poisson con parámetro $\lambda$ $\mathbf{E}X= \lambda$ y en el proceso de Poisson las llegadas son independientes, por lo que se tienen 10 rvs iid. Además, como señaló André Nichloas, el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson (tiempos entre llegadas) se distribuye exponencialmente con media $\frac{1}{\lambda}$ .