¿La convergencia débil de las medidas no atómicas a un límite no atómico preserva la continuidad absoluta?

Question

Dejemos que $\mu_n$ , $\mu$ y $\nu$ sean medidas no atómicas de Borel sobre un espacio topológico común de Hausdorff, tales que la $\mu_n$ son absolutamente continuas con respecto a $\nu$ . ¿La convergencia débil $\mu_n \to \mu$ (en el sentido de la teoría de la probabilidad, es decir, definidas en términos de funciones continuas acotadas) implican que $\mu$ es absolutamente continua con respecto a $\nu$ ?

Sin excluir los átomos la respuesta es no, véase por ejemplo aquí .

Si la respuesta sigue siendo no en la situación no atómica anterior, ¿haría alguna diferencia suponer que todas las medidas son regulares de Borel o de Radon?

Answer 1

Suponga que su espacio es $\mathbb{R}^2$ , dejemos que $\mu$ sea la distribución uniforme en el círculo y que $\nu$ sea la medida de Lesbegue. Sea $\mu_n$ sea la distribución uniforme en el anillo $B[0,1]\setminus B[0,1-1/n]$ . Entonces $\mu_n$ es absolutamente continua con respecto a $\nu$ pero $\mu_n\to \mu$ débilmente. Como $\mu$ es compatible con un conjunto nulo, $\mu$ no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lesbegue.

Tenga en cuenta que todas estas medidas son Radon.