Demostrar que $abc=[ab,bc,ca]*(a,b,c)=(ab,bc,ca)*[a,b,c]$

Question

Dejemos que $a,b \in \mathbb N$ . Demostrar que

$$ abc=[ab,bc,ca](a,b,c)=(ab,bc,ca)[a,b,c] $$ .

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Es sencillo utilizar propiedades universales $\rm\,\color{#c00}{(UP)\ of\ lcm,gcd}.\,$ A continuación se demuestra una de las igualdades. La otra se deduce inmediatamente por dualidad (véase la Observación).

Teorema $\,\ {\rm lcm}(a,b,c)\, =\, \dfrac{abc}{(bc,ca,ab)}$

$\begin{eqnarray}{\bf Proof}\quad\ \ \ {\rm lcm}(a,b,c)&\mid& n\\ \iff\: a,b,c&\mid& n,\ \ \text{by}\,\color{#c00}{\text{ UP lcm}}\\ \iff\quad abc&\mid& nbc,nca,nab,\ \ \ \,\text{by}\ \ \rm\color{#0a0}{duality},\ see\ below\\ \iff\quad abc&\mid&\!\! (nbc,nca,nab),\ \ \text{by}\,\color{#c00}{\text{ UP gcd}}\\ \iff\quad abc&\mid& n(bc,ca,ab) \\ \iff\ \ \dfrac{abc}{(bc,ca,ab)}&\Big|& n\end{eqnarray}$

Nota: $\ $ El simetría innata que rige la prueba es la involución $\ x\to x' = abc/x\,$ que destaca la dualidad $ $ lcm $' =$ gcd, $\ $ gcd $' =$ lcm, $ $ que surge de $\, \color{#0a0}{x\mid y\iff y'\mid x'},\,$ a saber

$\qquad\qquad \begin{eqnarray} {\rm lcm}(a,b,c) &=& {\rm lcm}(a,b,c)''\\ &=& {\gcd(a',b',c')'}\\ &=& \dfrac{abc}{\gcd(a',b',c')}\\ &=& \dfrac{abc}{\gcd(bc,ca,ab)}\end{eqnarray}$

Answer 2

Fijar un primo p. Demostrar que la potencia prima p^k que divide a cada lado es la potencia prima que divide a abc.

Por lo tanto, podemos incluso concluir que la expresión es igual a abc

Answer 3

Dejar $n_a, n_b, n_c$ denotan una potencia prima de $a,b,c$ por lo que la ecuación es simplemente $$\max(n_a+n_b, n_b+n_c,n_a+n_c)+\min(n_a,n_b,n_c) = \min(n_a+n_b,n_a+n_c,n_b+n_c)+max(n_a,n_b,n_c)=n_a+n_b+n_c$$ porque cuando $n_a+n_b$ obtiene el máximo, $n_c$ obtiene el mínimo, y viceversa.

Answer 4

Si $gcd(a,b,c) = d > 1$ y luego escribiendo: $a = pd$ , $b = qd$ y $c = rd$ podemos calcular $d^3$ en común. Así que podemos suponer $gcd(a,b,c) = 1$ . Entonces tenemos que probar: $abc = [ab,bc,ca]$ . Sea $[ab,bc,ca] = m$ entonces: $ab|m$ , $bc|m$ y $ca|m$ . Así:

$abc|mc$ , $abc|ma$ y $abc|mb$ . Así:

$abc|gcd(ma,mb,mc) = m\cdot gcd(a,b,c) = m\cdot 1 = m$ . Así: $abc|m$ . Sólo tenemos que probar: $m|abc$ .

Pero observa que: $ab|abc$ , $bc|abc$ y $ca|abc$ . Así: $[ab,bc,ca]|abc$ . Esto significa: $m|abc$ .

Así: $abc|m$ y $m|abc$ . Así que: $m = abc$ . Hecho.