Hace un tiempo, leí una fuente que creo que mencionaba algo parecido a la necesidad del axioma de sustitución para definir funciones en la teoría de conjuntos ZFC. Hasta ese momento estaba convencido de que para definir una función $f \colon X \longrightarrow Y$ se considera simplemente como un subconjunto del producto $X \times Y$ y, por tanto, sólo necesita el Axioma de Conjunto de Potencias para definir el producto cartesiano, y el Axioma Esquema de Comprensión para definir los subconjuntos que satisfacen un predicado particular. Sin embargo, cuanto más pienso en ello, más me confunde tratar de definir una función por un solo predicado como subconjunto $f = \{(x, y) \in X \times Y \mid P(x, y)\}$ , donde $P(x,y)$ describe que cada $x \in Y$ se asocia a un $\textit{unique}$ $y \in Y$ . Entonces, ¿cuál es? ¿Para qué se necesita realmente el Axioma de Reemplazo? Gracias de antemano.
Respuesta
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No estoy seguro de cómo crees que la sustitución entra en juego aquí.
Conjuntos dados $X$ y $Y$ podemos, como dices, formar el conjunto $X\times Y$ sin invocar la sustitución de ninguna manera. Ahora, para cualquier fórmula $\varphi(x, y)$ podemos formar el conjunto $$R_\varphi=\{\langle x, y\rangle\in X\times Y: \varphi(x, y)\}$$ de la siguiente manera:
Antes de hacerlo, tenga en cuenta que esto es no por muy trivial que parezca en un principio: " $\varphi(x, y)$ "es una fórmula de dos variables, no una fórmula de un simple (par ordenado). Por eso he utilizado la notación de corchetes para los pares ordenados.
A saber, que $\psi_\varphi(z)$ sea la fórmula "hay $x\in X, y\in Y$ tal que $z=\langle x, y\rangle$ y $\varphi(x, y)$ ." Entonces $$R_\varphi=\{z\in X\times Y: \psi_\varphi(z)\},$$ que existe por separación. Si, ahora, $\varphi$ resulta que tiene la propiedad de que para cada $x\in X$ hay exactamente una $y\in Y$ con $\varphi(x, y)$ el conjunto $R_\varphi$ es de hecho una función. Así que la sustitución no juega ningún papel aquí.
Para qué se utiliza la reposición/recogida es construir la gama de una "función"/"relación" definible. Es decir, si tenemos una fórmula $\varphi(x, y)$ (la "función" definible) y un conjunto $X$ (el dominio) tal que para cada $x\in X$ hay exactamente una $y$ con $\varphi(x, y)$ (pero ojo, no sabemos dónde están estos $y$ s "vivo"), entonces sin reemplazo no podemos concluir generalmente que el conjunto $\{y: \exists x\in X(\varphi(x, y))\}$ existe, por lo que no podemos argumentar que el clase $$\{(x, y): x\in X, \varphi(x, y)\}$$ en realidad es un conjunto, y por lo tanto una función genuina.
Así, por ejemplo, en teoría de conjuntos sin reemplazo podemos tomar $X=\omega$ , $\varphi(x, y)\equiv$ " $y=V_x$ ;" entonces podemos demostrar que para cada $x\in X$ hay exactamente una $y$ con $\varphi(x, y)$ pero ni siquiera podemos probar que $V_\omega$ ¡existe!
