Cómo demostrar que $f(x) = \cos^2(x)\sin(x)$ es simétrica respecto a la línea $x=\frac{1}{2} \pi$ ?

Question

Realmente tengo problemas para hacer ejercicios de simetría de puntos y de líneas. Por ejemplo:

Demuestra que $f(x) = \cos^2(x)\sin(x)$ es la línea simétrica en la línea $x=\dfrac{1}{2} \pi$ .

Así que necesito mostrar $f(a-p) = f(a+p)$ pero no tengo ni idea de cómo hacerlo. Incluso cuando veo las respuestas, no lo sé. Sólo veo que reescriben los cosenos y los senos de diferentes formas.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\sin(\tfrac{\pi}{2}-x)=\cos(x)\qquad \text{ and }\qquad \cos(\tfrac{\pi}{2}-x)=\sin(x)$$ ( Véase el ejemplo de Wikipedia También puedes dibujar un triángulo con ángulos $x$ , $\frac{\pi}{2}-x$ y $\frac{\pi}{2}$ ).

Utilizando los hechos anteriores junto con los hechos $\sin(-x)=-\sin(x)$ y $\cos(-x)=\cos(x)$ vemos que $$\sin(\tfrac{\pi}{2}+x)=\cos(x)\qquad\text{ and }\qquad \cos(\tfrac{\pi}{2}+x)=-\sin(x).$$ Así, tenemos $$f(\tfrac{\pi}{2}-x)=\bigg[\cos(\tfrac{\pi}{2}-x)\bigg]^2\sin(\tfrac{\pi}{2}-x)=\sin^2(x)\cos(x)$$ et $$f(\tfrac{\pi}{2}+x)=\bigg[\cos(\tfrac{\pi}{2}+x)\bigg]^2\sin(\tfrac{\pi}{2}+x)=(-\sin^2(x))\cos(x)=\sin^2(x)\cos(x)$$ para que $$f(\tfrac{\pi}{2}-x)=f(\tfrac{\pi}{2}+x).$$