¿Por qué $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1000 \sqrt n}$ ¿diferir?

Question

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1000 \sqrt n}$

¿Por qué diverge?

Answer 1

La serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ es un $p$ -serie con $p=\frac{1}{2}$ . A $p$ -converge cuando $p < 1$ y diverge cuando $p \geq 1$ .

Answer 2

Porque $$\frac{1}{1000}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\sqrt n}\gt\frac{1}{1000}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\to\infty\ \ (N\to\infty).$$

Answer 3

HINT

1 / Sqrt[n] es mayor que 1 / n. ¿Cómo se comporta la suma de 1 / n ?

Answer 4

Serie armónica $$ \sum_1^{N^2} \frac{1}{\sqrt{n}} > 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{N} $$

Answer 5

Por AM-GM y $n!\lt n^n$ tenemos $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}\gt n\sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n!}}}\gt\frac{n}{\sqrt[2n]{n!}}\gt\frac{n}{\sqrt n}=\sqrt n.$$ Esto es bastante flojo, pero elemental y suficiente para la divergencia.