No estoy seguro de cómo evaluar esta serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln(n)}$

Question

No hay nada que hacer con este problema de convergencia absoluta. (Converge condicionalmente, absolutamente, o diverge)

$$\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln(n)} $$

Primero, intento hacer la prueba de convergencia absoluta: $$\sum_{n=2}^\infty \left\lvert \frac{-1^n}{\ln(n)}\right\rvert = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln(n)} $$

No estoy seguro de cómo evaluar esta serie. ¿Qué prueba utilizar?

Answer 1

La serie cumple las condiciones de la serie alterna de Leibniz y entonces converge, pero no converge absolutamente ya que por comparación

$$\frac1{\log n}\ge\frac1n$$

y la serie armónica diverge.

Answer 2

Usted sabe que para $n\ge 1$ , $\ln(n) \le n$ que a su vez dice que $\frac{1}{n}\le \frac{1}{\ln(n)}$ . ¿Qué le dice esto sobre la convergencia absoluta?

En cuanto al condicional, piensa en la prueba de las series alternas.

Answer 3

¿conoces las series alternas?

también puede agrupar los términos por dos, y encontrar que $$\frac{1}{\ln (2 n)} - \frac{1}{\ln (2 n+1)} = \frac{\ln (2 n+1) - \ln (2 n)}{\ln (2n) \ln (2n+1)} = \frac{\ln \left(1+\frac{1}{2n}\right)}{\ln (2n) \ln (2n+1)} \sim \frac{1}{2n \ln^2 n}$$

y $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln^2 n}$ es por el Prueba de condensación de Cauchy ,